Tangente mit best. St. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:14 Do 08.03.2007 | | Autor: | Salamence |
Gegeben sind eine quadratische Funktion f und eine lineare Funktion g. Gefragt ist nach einer Tangente an f, die parallel zu g ist. Dazu habe ich zunächst die Nullstellen der Differenz der Ableitungen ermittelt. Aber nur an einer dieser Stellen war die Steigung von f tatsächlich gleich der Steigung von g. Ist dies überhaupt möglich, dass ,obwohl die Ableitungen gleichgesetzt wurden, nur eine der Stellen wirklich die selbe Steigung aufweist?
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Hallo,
die lineare Funktion g hat eine bestimmte Steigung m ( f(g)=mx+n ), damit die Tangenet t parallel zu g ist, hat sie die gleiche Steigung wie g, also mußt du über die 1. Ableitung von f die Stelle finden, an der der Anstieg auch m ist,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Do 08.03.2007 | | Autor: | Salamence |
Ja, ich weiß, dass man das so macht. Ich habe die Ableitungsfunktionen gleichgesetzt. Aber nur bei einem der berechneten x-Werte ist die Steigung der quadratischen Funktion wirklich gleich der Steigung der linearen Funktion, obwohl ich die Ableitungen gleichgesetzt habe. Und ich frage mich, ob das überhaupt richtig sein kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Do 08.03.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo,
ein Beispiel:
[mm] f(x)=x^{2}-2
[/mm]
g(x)=1,5x-7 die Steigung beträgt 1,5
f'(x)=2x
1,5=2x
[mm] x=\bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] f(\bruch{3}{4})=(\bruch{3}{4})^{2}-2=-\bruch{23}{16}
[/mm]
der Punkt [mm] P(\bruch{3}{4}; -\bruch{23}{16}) [/mm] gehört also zur Tangente
t(x)=1,5x+n
[mm] -\bruch{23}{16}=1,5\bruch{3}{4}+n
[/mm]
[mm] n=-\bruch{41}{16}
[/mm]
[mm] t(x)=2x-\bruch{41}{16}
[/mm]
Parabel: rot
Funktion: grün
Tangente. orange
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Es war gar keine quadratische, sondern eine kubische Funktion f. Also ist die Ableitung dieser quadratisch. Die Ableitungen der linearen und der kubischen Funktion haben zwei Schnittstellen. Diese habe ich ermittelt, indem ich die beiden Ableitungsfunktionen gleichgesetzt habe. Das heißt also wenn ich diese x-Werte in die Ableitung der kubischen Funktion einsetzte müsste die Steigung der linearen Funktion herauskommen. Dies war jedoch nur bei einem der x-Werte der Fall und ich frage mich, warum wenn ich den x-Wert der zweiten Schnittstelle der Ableitungen in die Ableitung der kubischen Funktion einsetzte der Wert ungleich der Steigung der linearen ist, obwohl es sich hierbei um eine Schnittstelle handelt. Das erscheint doch irgendwie absurd. Hat ein kubischer Graph nicht außerdem auch immer an zwei Stellen die selbe Steigung?
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> Es war gar keine quadratische, sondern eine kubische
> Funktion f. Also ist die Ableitung dieser quadratisch. Die
> Ableitungen der linearen und der kubischen Funktion haben
> zwei Schnittstellen. Diese habe ich ermittelt, indem ich
> die beiden Ableitungsfunktionen gleichgesetzt habe. Das
> heißt also wenn ich diese x-Werte in die Ableitung der
> kubischen Funktion einsetzte müsste die Steigung der
> linearen Funktion herauskommen.
Die Ableitungen der linearen Funktion ist ein Konstante, die der kubischen eine Parabel (bzw. eine quadratische Funktion). Wenn die Konstante im Scheitel der Parabel liegt (berührt) gibt es nur einen Schnittpunkt. Wenn die Parabel nur oberhalb oder unterhalb der Konstanten verläuft keinen. Sonst zwei. Die ermittelten x Werte in die Gleichung der Parabel eingesetzt müssen natürlich den Wert der Konstanten ergeben. Alles andere wäre in der Tat paradox.
> Dies war jedoch nur bei
> einem der x-Werte der Fall und ich frage mich, warum wenn
> ich den x-Wert der zweiten Schnittstelle der Ableitungen in
> die Ableitung der kubischen Funktion einsetzte der Wert
> ungleich der Steigung der linearen ist, obwohl es sich
> hierbei um eine Schnittstelle handelt. Das erscheint doch
> irgendwie absurd.
Vermutlich hast du einen Rechenfehler gemacht. Überprüfe auch noch einmal die Ableitungen. Und dann sind ja auch die Fälle kein oder nur ein Schnittpunkt möglich s.o.
>Hat ein kubischer Graph nicht außerdem
> auch immer an zwei Stellen die selbe Steigung?
Nein!
[mm] f(x) = x^3 [/mm]
hat nur an einer Stelle die Steigung 0 nämlich für x = 0.
Im allgemein dürfte das aber der Fall sein, da die Ableitung eine Parabel sein muss die ja immer eine Symmetrieachse besitzt.
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