Tangente an Niveaulinie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:52 Mi 19.07.2006 | | Autor: | amalie |
Ich bin auf der Suche nach einer Formel für die Tangente in einem Punkt an die Nieveaulinie einer Fkt von [mm] R^2 [/mm] nach R
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 Do 20.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Amalie!
> Ich bin auf der Suche nach einer Formel für die Tangente in
> einem Punkt an die Nieveaulinie einer Fkt von [mm]R^2[/mm] nach R
Sei $f : [mm] \IR^2 \to \IR$ [/mm] eine 'hinreichend glatte' Funktion (etwa einmal stetig diffbar in beide Richtungen). Sei [mm] $(x_0, y_0)$ [/mm] ein Punkt mit [mm] $f(x_0, y_0) [/mm] = c$. Wenn nicht gerade [mm] $grad(f)(x_0, y_0) [/mm] := [mm] (\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)) [/mm] = (0, 0)$ ist (in diesem Fall hast du einen Sattelpunkt und es gibt keine eindeutige Tangente), gibt es genau einen Richtungsvektor, in dem die Richtungsableitung gerade 0 ist.
(Die Bedingung, dass [mm] $grad(f)(x_0, y_0) \neq [/mm] (0, 0)$ ist, bedeutet gerade, dass du den Hauptsatz ueber implizite Funktionen -- der dir die Niveaulinie liefert -- entweder auf die erste oder die zweite Komponente von $f$ in dem Punkt [mm] $(x_0, y_0)$ [/mm] angewandt werden kann.)
Sei $(v, w)$ ein Richtungsvektor (also $(v, w) [mm] \neq [/mm] (0, 0)$). Dann ist die Richtungsableitung von $f$ in [mm] $(x_0, y_0)$ [/mm] in Richtung $(v, w)$ gerade durch [mm] $grad(f)(x_0, y_0) [/mm] * (v, w) = [mm] \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \cdot [/mm] v + [mm] \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \cdot [/mm] w$ gegeben. (Die Menge aller Richtungsvektoren, fuer die die Richtungsableitung 0 ist, bildet einen punktierten Vektorraum der Dimension 1.)
Nun etwas allgemeines: Ist $(x, y) [mm] \neq [/mm] (0, 0)$ irgendein Vektor, so gilt immer $(x, y) * (y, -x) = x [mm] \cdot [/mm] y + y [mm] \cdot [/mm] (-x) = 0$. Also tut es der Richtungsvektor $(v, w) = [mm] (\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0), -\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0))$.
[/mm]
Die Tangente ist nun die Gerade, die durch die Punkte [mm] $(x_0, y_0)$ [/mm] und [mm] $(x_0 [/mm] + v, [mm] y_0 [/mm] + w)$ geht (also die den Aufhaengepunkt [mm] $(x_0, y_0)$ [/mm] und den Richtungsvektor $(v, w)$ hat). Eine Gleichung fuer die Gerade kannst du nun leicht selber aufstellen 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:44 Do 20.07.2006 | | Autor: | amalie |
Vielen lieben Dank! Das war sehr hilfreich
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