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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Sa 26.01.2008 | | Autor: | kobo |
| Aufgabe | | Lösen sie die Gleichung ln(1+x)=1+ln(1-x) für x [mm] \in [/mm] ]-1,1[ |
Hallo,
habe ab einer bestimmten Stelle ein Problem...
Zuerst:
ln(1+x) = 1+ln(1-x)
[mm] \Rightarrow [/mm] ln(1+x)-ln(1-x) = 1
[mm] \Rightarrow ln(\bruch{(1+x)}{(1-x)}) [/mm] = 1
[mm] \Rightarrow [/mm] e = [mm] \bruch{(1+x)}{(1-x)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \bruch{(e-1)}{(e+1)}
[/mm]
So ich weiß nun, dass am Ende x = [mm] tanh(\bruch{1}{2}) [/mm] rauskommt. Nur wie komme ich dahin durch umformen?
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Hallo kobo,
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = [mm]\bruch{(e-1)}{(e+1)}[/mm]
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> So ich weiß nun, dass am Ende x = [mm]tanh(\bruch{1}{2})[/mm]
> rauskommt. Nur wie komme ich dahin durch umformen?
Das kommt darauf an mit welcher Ausgangsform des [mm]\tanh(.)[/mm] du überhaupt arbeiten willst?
Schaue dir die ![[]](/images/popup.gif) Definition des tanh(.) an. Ist es die 2te Darstellung, wärst du bereits fertig. Ist es die erste Darstellung, mußt du zeigen, daß für alle [mm]x\in\mathbb{R}[/mm] folgende Gleichung gilt:
[mm]\left(e^x-e^{-x}\right)\left(e ^{2x}+1\right)\stackrel{!}{=}\left(e^x+e^{-x}\right)\left(e^{2x}-1\right)[/mm]
Viele Grüße
Karl
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