T mit Integral versehen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
es geht um eine Passage in einem handgeschriebenem Skript, welche ich nicht verstehe. Ich schreibe diese mal raus. Wenn da Informationen fehlen entschuldige ich mich im Voraus und liefere sie dann nach.
Die Passage:
Betrachte [mm] T=\{z\in \mathbb{C}:|z|=1\} [/mm] versehen mit dem Lebesgueintegral [mm] \integral_{T}{f(x) dz}:=\integral_{0}^{1}{f(e^{2it\pi}) dt}.
[/mm]
Dann ist [mm] e_n(z):=z^n (=e^{2int\pi} [/mm] für [mm] z=e^{2it\pi}) [/mm] eine Orthonormalbasis von [mm] L^2(\mathbb{Z}) [/mm] und wir erhalten einen Homomorphismus [mm] F:l^2(\mathbb{Z})\to L^2(\mathbb{Z}) [/mm] mit [mm] F\delta_n=e_n, [/mm] wobei [mm] \{\delta_n:n\in \mathbb{Z}\} [/mm] die kanonische ONB von [mm] l^2(\mathbb{Z}) [/mm] bezeichnet.
Ich verstehe hier einiges nicht:
1.Inwiefern wird T mit dem obigen Integral ausgestattet? Macht ja keinen Sinn für so ein f eine Funktion f(z)=z mit [mm] z\in [/mm] T einzusetzen. Oder sagt man das nur, um das Integral [mm] \integral_{T}{f(x) dz}:=\integral_{0}^{1}{f(e^{2it\pi}) dt} [/mm] zu betrachten?. Also was meint hier, dass [mm] T=\{z\in \mathbb{C}:|z|=1\} [/mm] mit dem Lebesgueintegral
[mm] \integral_{T}{f(x) dz}:=\integral_{0}^{1}{f(e^{2it\pi}) dt} [/mm] versehen ist?
Der Rest ist mir dann deswegen auch unklar.
2. Woran sieht man hier, dass [mm] e_n(z):=z^n (=e^{2int\pi} [/mm] für [mm] z=e^{2it\pi}) [/mm] eine Orthonormalbasis von [mm] L^2(\mathbb{Z}) [/mm] ist?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Fr 10.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
ad 1: Es soll hier lediglich erklärt werden, wie man über den 1-Torus T integriert, die Definition ist in gewisser Weise sehr natürlich: Mit Hilfe der bijektiven Funktion $g: [0,1) [mm] \to [/mm] T, \ t [mm] \mapsto \exp(2\pi [/mm] i t)$ definiere den so genannten push forward [mm] $\mu_H:=\mu \circ g^{-1}$, [/mm] wobei [mm] $\mu$ [/mm] das Lebesgue-Maß auf [0,1) ist.
Dann gilt: $ [mm] \integral_{T}{f(z) dz}:=\integral_{0}^{1}{f(e^{2it\pi}) d\mu(t)}=\int_{T}f(x) \mathrm{d}\mu_H(x)$ [/mm] für [mm] $\mu_H$-integrierbare [/mm] Funktionen $f: T [mm] \to \IC$ [/mm]
(Man nennt [mm] $\mu_H$ [/mm] das Haar-Maß.)
ad 2: Könnte aus der Fourier-Theorie bekannt sein, ansonsten berechne [mm] $_{L^2(T)}=\integral_{T}{z^n z^m dz}$.
[/mm]
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:30 Sa 11.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo andyv,
> Hallo,
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> ad 1: Es soll hier lediglich erklärt werden, wie man über
> den 1-Torus T integriert, die Definition ist in gewisser
> Weise sehr natürlich: Mit Hilfe der bijektiven Funktion [mm]g: [0,1) \to T, \ t \mapsto \exp(2\pi i t)[/mm]
> definiere den so genannten push forward [mm]\mu_H:=\mu \circ g^{-1}[/mm],
> wobei [mm]\mu[/mm] das Lebesgue-Maß auf [0,1) ist.
> Dann gilt: [mm]\integral_{T}{f(z) dz}:=\integral_{0}^{1}{f(e^{2it\pi}) d\mu(t)}=\int_{T}f(x) \mathrm{d}\mu_H(x)[/mm]
> für [mm]\mu_H[/mm]-integrierbare Funktionen [mm]f: T \to \IC[/mm]
> (Man nennt [mm]\mu_H[/mm] das Haar-Maß.)
aber er hat von der Sprechweise her recht: Es wird doch nicht [mm] "$T\,$ [/mm] mit dem
Integral versehen."
Sondern man versieht die Menge der entsprechend [mm] $\mu_H$-integrierbaren [/mm] Funktionen
$f [mm] \colon [/mm] T [mm] \to \IC$ [/mm] durch ...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 Sa 11.10.2014 | | Autor: | Schachtel5 |
Danke euch, ich hab das dann jetzt verstanden.
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