Symmetrische Tensoren < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 So 19.07.2009 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | Sei [mm] \phi [/mm] ein Automorphismus von Z [mm] \otimes [/mm] Z und [mm] (e_{i}) [/mm] eine Basis von Z, dann gilt:
[mm] \phi (e_{i}*e_{j}) [/mm] = [mm] e_{j}*e_{i} [/mm] für alle Paare (i,j)
[mm] \Rightarrow \phi(x*y) [/mm] = y*x für x,y [mm] \in [/mm] Z
[mm] \Rightarrow \phi [/mm] ist unabhängig von der gewählten Basis [mm] (e_{i}), [/mm] darüber hinaus gilt [mm] \phi^{2} [/mm] = 1
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Ich muss einen Vortrag über Tensoren halten und bin auf ein Problem gestoßen:
Wieso ist [mm] \phi^{2} [/mm] = 1 ?
Hoffe, jemand kann mir weiter helfen.
Liebe Grüße
Joan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 Mo 20.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> Sei [mm]\phi[/mm] ein Automorphismus von Z [mm]\otimes[/mm] Z und [mm](e_{i})[/mm]
> eine Basis von Z, dann gilt:
>
> [mm]\phi (e_{i}*e_{j})[/mm] = [mm]e_{j}*e_{i}[/mm] für alle Paare (i,j)
> [mm]\Rightarrow \phi(x*y)[/mm] = y*x für x,y [mm]\in[/mm] Z
>
> [mm]\Rightarrow \phi[/mm] ist unabhängig von der gewählten Basis
> [mm](e_{i}),[/mm] darüber hinaus gilt [mm]\phi^{2}[/mm] = 1
>
> Ich muss einen Vortrag über Tensoren halten und bin auf
> ein Problem gestoßen: Wieso ist [mm]\phi^{2}[/mm] = 1 ?
Oben steht ja, das [mm] $\phi(e_i\otimes e_j)=e_j\otimes e_i$ [/mm] für alle i,j. Damit ist doch [mm] $\phi^2(e_i\otimes e_j)=\phi(e_j\otimes e_i)=e_i\otimes e_j$ [/mm] für alle i,j, d.h. [mm] $\phi^2$ [/mm] ist die Identität auf [mm] $Z\otimes [/mm] Z$ - das sagt genau die Gleichung [mm] $\phi^2=1$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Di 21.07.2009 | | Autor: | Joan2 |
Danke für die Hilfe :) Jetzt hab ich den Teil verstanden, aber bei mir sind 2 weitere Fragen entstanden :(
1) Wieso formen die Elemente [mm] (e_{i} \otimes e_{j} [/mm] + [mm] e_{j} \otimes e_{i})_{i \le j} [/mm] eine Basis von [mm] Sym^{2}(Z)?
[/mm]
2) Und warum ergibt sich daraus dim [mm] Sym^{2} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)}{n}?
[/mm]
Hoffe, du kannst mir bei den Fragen auch nochmal helfen .
Ganz liebe Grüße
Joan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:23 Di 21.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> 1) Wieso formen die Elemente [mm](e_{i} \otimes e_{j}[/mm] + [mm]e_{j} \otimes e_{i})_{i \le j}[/mm]
> eine Basis von [mm]Sym^{2}(Z)?[/mm]
Ich nehme an [mm] $\operatorname{Sym}^2(Z):=\operatorname{ker}(\phi-\operatorname{id})$ [/mm] wobei [mm] $\phi$ [/mm] diese Abbildung aus deiner ersten Frage ist. Nun, offensichtlich liegen alle [mm] $e_i\otimes e_j+e_j\otimes e_i$ [/mm] in [mm] $\operatorname{Sym}^2(Z)$. [/mm] Desweiteren sind sie linear unabhängig, da die [mm] $(e_i\otimes e_j)_{1\le i,j\le n}$ [/mm] linear unabhängig sind. Bleibt noch zu zeigen, dass sie ganz [mm] $\operatorname{Sym}^2(Z)$ [/mm] erzeugen. Sei also [mm] $x=\sum_{i,j}\lambda_{ij}e_i\otimes e_j\in\operatorname{Sym}^2(Z)$. [/mm] Wende auf beiden Seiten [mm] $\phi$ [/mm] an und man erhält [mm] $$\sum_{i,j}\lambda_{ij}e_i\otimes e_j=x=\phi(x)=\sum_{i,j}\lambda_{ij}e_j\otimes e_i$$ [/mm] Und daraus folgt durch Koeffizientenvergleich [mm] $\lambda_{ij}=\lambda_{ji}$ [/mm] für alle Paare (i,j), d.h. insbesondere ist [mm] $$x=\left(\sum_{i
> 2) Und warum ergibt sich daraus dim [mm]Sym^{2}[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)}{n}?[/mm]
Du meinst wohl $n(n+1)/2$ - das folgt doch aus 1) - wieviele Elemente hat denn die Basis, die wir dort berechnet haben?
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mi 22.07.2009 | | Autor: | Joan2 |
Sorry, dass ich nerve :( Ich versteh deine Erklärung bis
$ [mm] x=\left(\sum_{i
Wie kommst du auf diese Gleichung? :(
Liebe Grüße
Joan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Mi 22.07.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Joan!
> Sorry, dass ich nerve :( Ich versteh deine Erklärung bis
>
> [mm]x=\left(\sum_{i
>
> Wie kommst du auf diese Gleichung? :(
Es ist doch:
[mm] x=\sum_{i,j}\lambda_{ij}e_i\otimes e_j = \sum_{ij}\lambda_{ij}e_i \otimes e_j + \sum_{i=j}\lambda_{ij}e_i \otimes e_j [/mm] .
Im zweiten Summanden vertauschst du i und j; da [mm] $\lambda_{ij}=\lambda_{ji}$, [/mm] ergibt sich
[mm] \sum_{i>j}\lambda_{ij}e_i \otimes e_j = \sum_{i
und im dritten Term einen Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] herausziehen:
[mm] \sum_{i=j}\lambda_{ij}e_i \otimes e_j = \sum_i \lambda_{ii} e_i \otimes e_i = \bruch{1}{2} \sum_i \lambda_{ii} 2e_i \otimes e_i = \bruch{1}{2} \sum_i \lambda_{ii} (e_i \otimes e_i + e_i \otimes e_i) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Mi 22.07.2009 | | Autor: | Joan2 |
Danke für die Erklärung :)
Für [mm] Alt^{2}(Z), [/mm] also die Menge der Elemente [mm] z\in [/mm] Z [mm] \otimes [/mm] Z, sodass [mm] \phi(z) [/mm] = -z ist, müsste alles doch analog gehen, oder?
Aber wo ist der große Unterschied zu [mm] Sym^{2}(Z)?
[/mm]
Da geht es um die Elemente
[mm] (e_{i} \otimes e_{j} [/mm] + [mm] e_{j} \otimes e_{i})_{i \le j} [/mm] und bei [mm] Alt^{2} [/mm] um [mm] (e_{i} \otimes e_{j} [/mm] + [mm] e_{j} \otimes e_{i})_{i < j}. [/mm]
Wenn ich i = 2 und j = 3 setzen würde, ist es ja dasselbe?
Liebe Grüße
Joan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Mi 22.07.2009 | | Autor: | pelzig |
Die kanonische Basis von [mm] $\operatorname{Alt}^2(Z)$ [/mm] ist gerade gegeben durch [mm] $(e_i\otimes e_j\red{-}e_j\otimes e_i)_{i
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Mi 22.07.2009 | | Autor: | Joan2 |
Ach deswegen wars so seltsam ^^
Vielen, vielen Dank für die super Hilfe und ganz liebe Grüße
Joan
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