Symmetrische Matrix - cp < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Do 05.04.2007 | | Autor: | Creep |
| Aufgabe | Setze [mm] A=\pmat{ -1 & 0 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 0 & -1}
[/mm]
Man zeige cpA = X³(x+2)(x+3) |
Hallo erstmal!
Ich hänge an dieser Aufgabe und habe wenig Schimmer, wie ich vorgehen soll.
Habe mir schon einige Gedanken gemacht und schreibe sie hier einfach mal auf, vll. stößt jemand meinen Ansatz weiter =)
Also die Matrix ist scheinbar symmetrisch. Ich gehe davon aus, dass sie diagonalisierbar ist, um dann an diese cpA zu kommen. Wenn ich den Standardweg (direkte Determinantenberechnung) anwende, lande ich im Chaos und der Aufwand ist auch unendlich groß.
Also hatte ich die Idee:
cpA= det (X*1-A) und dann die entstehende Matrix also sozusagen det (A') umzuformen. Ist das sinnig? Darf ich das? Habe es mal probiert und das sieht garnicht nach dem Ergebnis aus, was ich gerne hätte.
Hat jemand noch einen weiteren Lösungsansatz? Vielleicht habe ich irgendeine Eigenschaft dieser symm. Matrix übersehen in meinen Unterlagen.
Oder ich laufe vollkommen in die falsche Richtung. Ich weiss die Eigenwerte sind (-2, -3, 0) kann ich hier irgendetwas mit machen? Wobei ich dabei auch erst zeigen muss, dass dies die Eigenwerte sind.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Do 05.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Standardweg ist doch det(A-I*X) zu berechnen, welchen anderen Stadardweg mit det(A) kennst du denn?
2. det(A-I*X) geht wegen der vielen 0 und 1 schnell sowohl durch reduzieren, als auch mit dem Entwicklungssatz.
warum das bei dir nicht hinkommt kann ich nicht sagen, vielleicht machst du was falsch mit der Umformung, nicht alle Umformungen des Gauss-Alg. fuer Gleichungen lassen det unveraendert!
Also musst du deinen Loesungsweg aufschreiben oder skizzieren, damit jemand den Fehler suchen kann.
Nen Weg ganz ohne Umformen oder rechnen gibts nicht!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Creep |
Erstmal Danke!
Ja ich dachte ich könnte an dieser Stelle:
[mm] cpA=\det\pmat{ x+1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & x+1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & x+1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & x+1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & x+1 }
[/mm]
Die Matrix umformen. Zudem hatte ich vermutet, dass es einen eleganteren Weg gäbe, um das zu zeigen, als direkt auf das Standardverfahren der Determinanten zurückzugreifen.
Naja ist zwar viel Schreibarbeit, aber OK! Wenn jemand nen eleganteren Weg kennt, dann wäre ich äusserst dankbar!
Werde nochmals jetzt selbstständig rumbasteln und rechnen, vll. geht es ja diesmal auf =)
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Hallo!
Deine letzte Formel ist so nicht ganz richtig. Du mußt ja von deine Matrix das Vielfache der Einheitsmatrik abziehen, das '-' bleibt also bestehen, und du bekommst ein -x in die Diagonale. (Andererseits könntest du einfach ein '-' vor die Determinante setzen.)
Dann gibt es einen Haufen ![[]](/images/popup.gif) Determinantenregeln
Eine besagt, daß du nach Belieben Zeilen zu einer anderen Zeile hinzuaddieren darfst. Und das solltest du nutzen! Du kannst z.B. die 5. von der 3. Zeile abziehen, dann hat die erste Spalte nur noch 2 von null verschiedene Zahlen.
Wenn du die Determinante nun entwickelst, hast du nur noch zwei 4x4 Unterdeterminanten zu betrachten.
Da steht dann (-1-x)*det(A)-1*det(B)
Jetzt kannst du den Trick nochmal anwenden, indem du die (-1-x) in die Matrix reinziehst. Multipliziere die Zeile damit, die am Anfang eine 1 stehen hat! Danach hast du zwei Zeilen, die am Anfang (-1-x) stehen haben, die kannst du voneinander abziehen, sodaß da nur noch eine Zeile steht, die einen Wert am Anfang hat.
Für det(B) kann man sowas auch machen.
Die weitere Entwicklung ist jetzt einfach, da sind zwei 3x3-Matrizen zu berechnen, und das ist nicht viel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Creep |
det (XE-A) =)
Hat alles schon seine Richtigkeit! Danke euch dann allen schonmal! =)
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