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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Symmetrische Bilinearform und polare Unterräume
Symmetrische Bilinearform und polare Unterräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Symmetrische Bilinearform und polare Unterräume: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:26 Di 11.05.2004
Autor: Kacknoob

Hi ich grüsse dieses Forum !

Ich habe folgendes Problem:
Seien v die Std-Basis des [mm] R^3 [/mm] und b die symmetrische Bilinearform:
b (v, v) := Matrix([ [13,14,-2],[14,15,-2],[-2,-2,0] ])
Berechnen sie eine Basis des bezüglich b zu X polaren Unterraumes.
X:= R(3,1,2) + R(1, 0,1) + R(2,1,1)

Wie funktioniert das 1. ohne Gram-Schmidt und 2. nur mithilfe der Bilinearform ?

Danke im voraus
        
Bezug
Symmetrische Bilinearform und polare Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Di 11.05.2004
Autor: Julius

Hallo,

es funktioniert natürlich (unelegant) durch gnadenloses Einsetzen. ;-)

Es geht ja um diesen Unterraum:

[mm] X:= \IR \begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+ \IR \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \IR \begin{pmatrix} 2 \\1 \\1 \end{pmatrix}[/mm].

Eine Basis dieses zweidimensionalen Unterraumes wird durch

[mm]{\cal B}:= \left( \begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right)[/mm]

gegeben.

Zu lösen sind also die beiden Gleichungen:

[mm] \begin{pmatrix}3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 13 & 14 & -2\\ 14 & 15 & -2\\ -2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a \\ b \\ c \end{pmatrix}= 0[/mm]

und

[mm] \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 13 & 14 & -2\\ 14 & 15 & -2\\ -2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a \\ b \\ c \end{pmatrix}= 0[/mm],

in Abhängigkeit einer der drei Variablen [mm]a[/mm], [mm]b[/mm] oder [mm]c[/mm].

Das ist aber die Holzhammermethode. Vielleicht geht es ja auch eleganter? Da fällt mir aber gerade nichts ein...

Naja, versuche es mal und melde dich mit einem Ergebnis. :-)

Liebe Grüße
Julius


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Symmetrische Bilinearform und polare Unterräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:25 Mi 12.05.2004
Autor: Kacknoob

Ich habe einen weiteren Lösungweg gefunden .... :)

Da der Lösungsraum normal auf den Spaltenraum steht, kann man die Basis von X zu einer Koeffizienten-Matrix zusammenfassen, und so das lineare GLS lösen .... der/die Lösungsvektoren stehen somit schon automatisch normal auf der Basis .... ob das mit der Bilinearform verträglich ist, weiss ich nicht
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Symmetrische Bilinearform und polare Unterräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:12 Mi 12.05.2004
Autor: Julius

Hallo,

ich verstehe deinen Lösungsvorschlag, ehrlich gesagt, nicht, aber das liegt bestimmt an mir und meinem Halbwissen über Sesquilinearformen und ihre Matrixdarstellung.

Vielleicht kann dir ja jemand anders helfen. Oder aber du erklärst mir deine Idee noch einmal etwas genauer... :-)

Liebe Grüße
Julius
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Symmetrische Bilinearform und polare Unterräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:47 Mi 12.05.2004
Autor: Kacknoob

Hallo Julius !

Ich habe einen interessanten Satz in meinem Skriptum gefunden:
Der Spaltenraum einer Matrix (gebildet durch die Orthonomalbasen) steht orthogonal auf dem Lösungsraum dieser Matrix .... daher meine Idee .... wenn ich die Basen orthonomalisiere und sie zu einer Matrix zusammenfasse, und das so gebildete LGS betrachte, würden die Lösungsvektoren orthogonal zu den ONB stehen. Dies würde meiner Meinung nach ws nur mit dem Standard-Skalarprodukt funktionieren.

Aber ich habe noch eine 2. Idee:
Für alle y aus dem polaren Unterraum muss ja gelten: b(v, y) = 0 wobei v Basis von X. Da meine Basis von X hier aus 2 Vektoren besteht, betrachte ich:
b (v1, y) = 0 und b (v2, y) = 0 y = (a,b,c) und bekomme so auch ein GLS und kann y damit lösen.

Trotzdem danke für deine Antwort Julius :)

Bezug
                                        
Bezug
Symmetrische Bilinearform und polare Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:21 Mi 12.05.2004
Autor: Julius

Hallo,

> Ich habe einen interessanten Satz in meinem Skriptum
> gefunden:
> Der Spaltenraum einer Matrix (gebildet durch die
> Orthonomalbasen) steht orthogonal auf dem Lösungsraum
> dieser Matrix .... daher meine Idee .... wenn ich die Basen
> orthonomalisiere und sie zu einer Matrix zusammenfasse, und
> das so gebildete LGS betrachte, würden die Lösungsvektoren
> orthogonal zu den ONB stehen. Dies würde meiner Meinung
> nach ws nur mit dem Standard-Skalarprodukt funktionieren.

Ach so. Ja, stimmt, aber das führt hier zu nichts.
  
> Aber ich habe noch eine 2. Idee:
>  Für alle y aus dem polaren Unterraum muss ja gelten: b(v,
> y) = 0 wobei v Basis von X. Da meine Basis von X hier aus 2
> Vektoren besteht, betrachte ich:
>  b (v1, y) = 0 und b (v2, y) = 0 y = (a,b,c) und bekomme so
> auch ein GLS und kann y damit lösen.

Wie? Das war doch genau mein Ansatz, den ich hier reingestellt hatte. (!?) Jetzt bin ich verwirrt.

Liebe Grüße
Julius  

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