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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Sa 01.01.2005 | | Autor: | bodyzz |
Hi Leute bin neu hier, mal schauen ob ihr mir helfen könnt:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
also
gegeben:
f(x)=e^-x ; g(x)=1-e^-x; Df=Dg=R
b) Berechne Schnittpunkt und Schnittwinkel (-> komme bei Schnittwinkel nicht weiter)
c) Zeige: Gg ist das Spiegelbild von Gf bei der Achsenspiegelung an y=a. Bestimme a. (-> komme da überhaupt nicht weiter)
würde mich freuen wenn ihr mir helfen würdet einen Ansatz zu machen!
Mfg
bodyzz
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Sa 01.01.2005 | | Autor: | bodyzz |
Loddar! Ich danke dir sehr!!! Kannst dir nicht vorstellen wie sehr du mir dabei geholfen hast.
diese Formel (f(x)+g(x))/2=a ... -> gilt die für alle Graphen wenn die vorherigen Vorraussetzungen stimmen?
in Teilaufgabe d)
Berechne den Inhalt der Fläche, die von der positiven x-Achse, der Geraden x=2, und den beiden Graphen begrenzt ist.
bei dieser Aufgabe bekomme ich den Wert 1,49 raus? Stimmt der, weil ich nicht die Lösungen für die Teilaufgabe d) habe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Sa 01.01.2005 | | Autor: | Loddar |
> Loddar! Ich danke dir sehr!!! Kannst dir nicht vorstellen
> wie sehr du mir dabei geholfen hast.
![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
> diese Formel (f(x)+g(x))/2=a ... -> gilt die für alle
> Graphen wenn die vorherigen Voraussetzungen stimmen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Mal auf die Skizze sehen!
Für die genannte Achsensymmetrie gilt ja:
g(x) - a = a - f(x)
Erläuterung:
Der Abstand zwischen und a und f(x) ist (betragsmäßig) gleich groß dem Abstand zwischen g(x) und a.
Das umgeformt ergibt exakt die o.g. Bedingung:
[mm] $\Rightarrow$ $\bruch{f(x) + g(x)}{2} [/mm] = a$.
> d) Berechne den Inhalt der Fläche, die von der positiven
> x-Achse, der Geraden x=2, und den beiden Graphen begrenzt
> ist.
>
> bei dieser Aufgabe bekomme ich den Wert 1,49 raus? Stimmt
> der, weil ich nicht die Lösungen für die Teilaufgabe d) habe.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") *hmmm*
Hier habe ich ein anderes Ergebnis 'raus:
[mm] $A_{gesamt} \approx [/mm] 0,558$ [F.E.]
Dein Ergebnis kann aber nicht ganz stimmen (Plausibilität):
Wenn ich als (grobe) Näherung das Dreieck mit der Grundseite x=2 und der Höhe y=0,5 betrachte, erhalte ich:
[mm] $A_{Dreieck} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*g*h [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*2*0,5 [/mm] = 0,5$ [F.E.]
Das spricht eher für mein Ergebnis (das betrachtete Dreieck ist auch etwas kleiner als die tatsächliche Fläche).
In welchen Grenzen integrierst Du denn ??
Wie lautet (lauten) denn Deine Stammfunktion(en) ??
Tipp: Du mußt zwei Teilflächen betrachten und anschließend addieren ...
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Sa 01.01.2005 | | Autor: | bodyzz |
Hi Loddar,
also ich habe 2 Teilflächen, welche ich addiere?? oder ist dieser Vorgang falsch?
[mm] \integral_{0}^{ln2} [/mm] {f(x) dx}
und
[mm] \integral_{ln2}^{2} [/mm] {g(x) dx}
die Stammfunktionen sind
F(x)= [mm] -e^{-x}
[/mm]
G(x)= x + [mm] e^{-x}
[/mm]
ich glaub auch dass dein Ergebnis stimmt 
jedoch finde ich meinen Fehler nicht? oder darf ich nicht auf diese Weise integrieren...??
schöne gruß
bodyzz
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Sa 01.01.2005 | | Autor: | dominik |
Diese Lösung ist parallel zu derjenigen von Loddar entstanden, stellt also eine kleine Ergänzung dar ...
[mm] f(x)=e^{-x}
[/mm]
[mm] g(x)=1-e^{-x}
[/mm]
1. Schnittpunkt von f und g:
[mm] f\cap g\hat= e^{-x}=1-e^{-x} \gdw 2e^{-x}=1 \gdw e^{-x}=\bruch{1}{2} \gdw -x=ln(\bruch{1}{2})=ln(1)-ln(2) \gdw [/mm] x=ln(2)-ln(1)=ln(2)
[mm] \Rightarrow f(ln2)=e^{-ln2}=e^{ln2^{-1}}=2^{-1}= \bruch{1}{2}
[/mm]
Beide Grafen schneiden sich also im Punkt mit den Koordinaten (ln2 / [mm] \bruch{1}{2}). [/mm] Der y-Wert ist für den Teil der Symmetrie wichtig.
2. Schnittwinkel: hier brauchen wir die beiden Ableitungen:
[mm] f'(x)=-e^{-x} \Rightarrow f'(ln2)=-e^{-ln2}=-e^{ln2^{-1}}=-2^{-1}= -\bruch{1}{2}=m_{1}
[/mm]
[mm] g'(x)=e^{-x} \Rightarrow g'(ln2)=e^{-ln2}=e^{ln2^{-1}}=\bruch{1}{2}=m_{2}
[/mm]
Tangens des Schnittwinkels:
tan [mm] \gamma= \vmat{ \bruch{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}*m_{2}} }= \bruch{ \bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}}{1-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}}= \bruch{1}{ \bruch{3}{4}}=\bruch{4}{3} \Rightarrow \gamma \approx [/mm] 53.12°
3. Symmetrie:
Die Kurven schneiden sich im Punkt (ln2/ [mm] \bruch{1}{2}). [/mm] Das bedeutet, dass sie zur Geraden y= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] symmetrisch verlaufen - falls eine Symmetrie zu einer Geraden parallel zur x-Achse überhaupt vorhanden ist.
Idee: wir verschieben beide Kurven um [mm] \bruch{1}{2} [/mm] nach unten. Sie schneiden sich dann auf der x-Achse. Dann weisen wir eine Symmetrie zur x-Achse nach.
Also: Die Gleichungen der beiden verschobenen Grafen:
[mm] f°(x)=e^{-x}- \bruch{1}{2} [/mm] und [mm] g°(x)=1-e^{-x}- \bruch{1}{2}= \bruch{1}{2}-e^{-x}
[/mm]
Spiegelung von f° an der x-Achse: y wechselt das Vorzeichen:
Aus [mm] y=e^{-x}- \bruch{1}{2} [/mm] wird [mm] -y=e^{-x}- \bruch{1}{2};
[/mm]
beide Seiten werden mit -1 multipliziert:
[mm] y=-(e^{-x}- \bruch{1}{2})=-e^{-x}+ \bruch{1}{2}. [/mm]
Dies ist aber die Gleichung von g°! Damit ist die Symmetrie bewiesen.
Viele Glück zum neuen Jahr!
dominik
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Genau richtig ...
