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Symmetrie: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:35 Mi 16.01.2008
Autor: haZee

Aufgabe
Welche Funktionen sind gerade, welche ungerade?
a) [mm] y(x)=x/x^{2}-2x-3 [/mm]
b) [mm] y(x)=cosxsin^{2}x [/mm]
c) [mm] y(x)=x^{2}-sin2x [/mm]
d) y(x)=tanx+cosx

a) f(x)=f(-x)

[mm] f(-x)=-x/(-x)^{2}-2(-x)-3=-x/x^{2}-2(-x)-3 [/mm]
[mm] f(-x)\not=f(x) [/mm]
--> ungerade Funktion

b) [mm] f(-x)=cos(-x)sin^{2}(-x)=cos(x)sin^{2}(-x) [/mm]
[mm] f(-x)\not=f(x) [/mm]
--> ungerade Funktion

c) [mm] f(-x)=(-x)^{2}-sin2(-x)=x^{2}-sin2(-x) [/mm]
[mm] f(-x)\not=f(x) [/mm]
--> ungerade Funktion

d) f(-x)=tan(-x)+cos(-x)=tan(-x)+cos(x)
[mm] f(-x)\not=f(x) [/mm]
--> ungerade Funktion

ist das so richtig? oder hab ich was falsch gemacht?
        
Bezug
Symmetrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 Mi 16.01.2008
Autor: Somebody


> Welche Funktionen sind gerade, welche ungerade?
>  a) [mm]y(x)=x/x^{2}-2x-3[/mm]
>  b) [mm]y(x)=cosxsin^{2}x[/mm]
>  c) [mm]y(x)=x^{2}-sin2x[/mm]
>  d) y(x)=tanx+cosx
>  a) f(x)=f(-x)
>  

> ist das so richtig? oder hab ich was falsch gemacht?

Ich fürchte, Du musst die Definition von "gerade" und "ungerade" bei Funktionen nochmals sorgfältiger anschauen.

> [mm]f(-x)=-x/(-x)^{2}-2(-x)-3=-x/x^{2}-2(-x)-3[/mm]
>  [mm]f(-x)\not=f(x)[/mm]

Aus [mm] $f(-x)\neq [/mm] f(x)$ würde nur folgen, dass $f$ nicht gerade ist. Aber "nicht gerade" ist nicht das selbe wie ungerade. Es gibt eben auch Funktionen, wie z.B. $x+1$: die sind weder gerade noch ungerade, widerlegen also Deine Schlussweise.

Wegen [mm] $f(x)=\frac{1}{x}-2x-3$ [/mm] ist diese Funktion (für [mm] $x\neq [/mm] 0$) die Summe der ungeraden Funktion [mm] $f_1(x)=\frac{1}{x}-2x$ [/mm] und der geraden Funktion [mm] $f_2(x)=-3$: [/mm] also weder gerade noch ungerade.
> --> ungerade Funktion

[notok]

>  
> b) [mm]f(-x)=cos(-x)sin^{2}(-x)=cos(x)sin^{2}(-x)[/mm]
>  [mm]f(-x)\not=f(x)[/mm]

[notok] Effektiv ist $f(-x)=f(x)$ und daher ist die Funktion gerade: [mm] $f(-x)=\cos(-x)\sin^2(-x)=\cos(x)(-\sin(x))^2=\cos(x)\sin^2(x)=f(x)$ [/mm]

>  
> c) [mm]f(-x)=(-x)^{2}-sin2(-x)=x^{2}-sin2(-x)[/mm]
>  [mm]f(-x)\not=f(x)[/mm]
> --> ungerade Funktion

Wie schon bei a) ist diese Schlussweise von [mm] $f(-x)\neq [/mm] f(x)$ auf $f$ ist ungerade absolut unbrauchbar. Nicht gerade sein ist nicht das selbe wie ungerade sein.
Diese Funktion ist weder gerade noch ungerade, denn Du würdest auch finden, dass [mm] $f(-x)\neq [/mm] -f(x)$ gilt.
Mit anderen Worten: Wenn Du das Geradesein von $f$ wegen [mm] $f(-x)\neq [/mm] f(x)$ verworfen hast, musst Du noch prüfen, ob sich auch das Ungeradesein wegen [mm] $f(-x)\neq-f(x)$ [/mm] verwerfen lässt. In diesem Falle wäre $f$ weder gerade noch ungerade (was hier der Fall ist).

>  
> d) f(-x)=tan(-x)+cos(-x)=tan(-x)+cos(x)
>  [mm]f(-x)\not=f(x)[/mm]
> --> ungerade Funktion

[notok]

Gleiches Problem wie bei c).  Diese Funktion ist Summe der ungeraden Funktion [mm] $f_1(x)=\tan(x)$ [/mm] und der geraden Funktion [mm] $f_2(x)=\cos(x)$ [/mm] also weder gerade noch ungerade.

Bezug
                
Bezug
Symmetrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:21 Mi 16.01.2008
Autor: haZee

ah..okay. dankeschön.
Bezug
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