Surjektivität bei Funktion < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Do 01.11.2007 | | Autor: | Betman |
| Aufgabe | Es sei [mm] f:M\to [/mm] M' eine Abbildung. Beweisen Sie: f ist genau dann surjektiv, wenn Folgendes gilt:
Sind g,h: [mm] M'\to [/mm] M'' beliebige Abbildungen mit [mm] g\circ f=h\circ [/mm] f,so ist g=h |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So ich weiß nicht weiter. Ich habe mir gedacht, jedes [mm] x\in [/mm] M wird mindestens einmal in der Menge M' abgebildet. Und dann wird jedes Element der Menge M' (da ich ja die gesamte menge erhalten habe) durch g oder h auf M'' abgebildet. Ich erhalte also ein [mm] x\in [/mm] M''. Ich führe also [mm] g\circ [/mm] f und [mm] h\circ [/mm] f aus. Wenn dann die enthaltenen Menge M'' gleich ist müssen auch g=f sein...
Kann ich das so schreiben?? oder was fehlt dann noch??
((Und kann ich sowas auch über injektive abbildungen sagen??))
vielen dank für jeden kleinen tipp!!!
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> Es sei [mm]f:M\to[/mm] M' eine Abbildung. Beweisen Sie: f ist genau
> dann surjektiv, wenn Folgendes gilt:
> Sind g,h: [mm]M'\to[/mm] M'' beliebige Abbildungen mit [mm]g\circ f=h\circ[/mm]
> f,so ist g=h
Hallo,
für mich ist es immer sehr hilfreich, wenn ich mir solche Aufgaben erstmal ein bißchen in ihre Einzelteile zerlege um zu erfahren, was genau zu tun ist.
Gegeben haben wir eine Funktion [mm] f:M\to [/mm] M'.
Zeigen soll man nun zweierlei:
A. Wenn die Funktion surjektiv ist, so folgt daraus folgendes:
wenn man zwei Funktionen g,h: [mm]M'\to[/mm] M'' mit [mm] g\circ f=h\circ[/mm]f [/mm] , so sind diese beiden Funktionen gleich.
B. Wenn für beliebige Funktionen g,h: [mm]M'\to[/mm] M'' mit [mm] g\circ f=h\circ[/mm]f [/mm] folgt, daß g=h ist, so ist f surjektiv.
> So ich weiß nicht weiter. Ich habe mir gedacht, jedes [mm]x\in[/mm]
> M wird mindestens einmal in der Menge M' abgebildet. Und
> dann wird jedes Element der Menge M' (da ich ja die
> gesamte menge erhalten habe) durch g oder h auf M''
> abgebildet. Ich erhalte also ein [mm]x\in[/mm] M''. Ich führe also
> [mm]g\circ[/mm] f und [mm]h\circ[/mm] f aus. Wenn dann die enthaltenen Menge
> M'' gleich ist müssen auch g=f sein...
Da sind sehr brauchbare Überlegungen drin.
Eines ist nicht richtig: Wenn die Bildmengen von [mm] g\circ] [/mm] f und [mm]h\circ[/mm] f gleich sind, müssen die Funktionen nicht unbedingt gleich sein. Bei der Gleichheit von Funktionen kommt es darauf an, daß sie an jeder Stelle übereinstimmen.
Nun zum Beweis.
Wir wollen zunächst A. zeigen.
f ist nach Voraussetzung surjektiv, und es seien g,h: [mm]M'\to[/mm] M'' mit [mm] g\circ f=h\circ[/mm]f.
[/mm]
Angenommen, g und h wären nicht gleich.
Dann gäbe es ein [mm] y\in [/mm] M' mit [mm] g(y)\not=h(y).
[/mm]
Nun bring die Surjektivität von f ins Spiel. Zu diesem y findest Du ein [mm] x\in [/mm] ... mit ...
Einsetzen und Widerspruch entdecken.
Für die Rückrichtung B. kannst Du annehmen, daß f nicht surjektiv ist und das zum Widerspruch führen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Do 01.11.2007 | | Autor: | Betman |
| Aufgabe | | Kann ich es so schreiben?? |
Ich habe die richtung A mal gemacht, und würde gerne wissen es richtig ist.
> Angenommen, g und h wären nicht gleich.
>
> Dann gäbe es ein [mm]y\in[/mm] M' mit [mm]g(y)\not=h(y).[/mm]
>
Da f surjektiv gibt es zu diesem [mm] y\in [/mm] M' mindestens ein [mm] x\in [/mm] M mit y=f(x)
[mm] \Rightarrow y\in [/mm] f(M) [mm] (\in [/mm] oder =??)
[mm] \Rightarrow [/mm] g(f(M))=h(f(M)) (nach AUfgabenstellung)
[mm] \Rightarrow [/mm] g=h was ein widerspruch zur annahme wäre...
Weg B habe ich noch nicht versucht, bin aber guten mutes wenn weg a erstmal stimmt  und vielen vielen dank!!
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> Kann ich es so schreiben??
> Ich habe die richtung A mal gemacht, und würde gerne
> wissen es richtig ist.
>
> > Angenommen, g und h wären nicht gleich.
> >
> > Dann gäbe es ein [mm]y\in[/mm] M' mit [mm]g(y)\not=h(y).[/mm]
> >
> Da f surjektiv gibt es zu diesem [mm]y\in[/mm] M' mindestens ein
> [mm]x\in[/mm] M mit y=f(x)
> [mm]\Rightarrow y\in[/mm] f(M) [mm](\in[/mm] oder =??)
> [mm]\Rightarrow[/mm] g(f(M))=h(f(M)) (nach AUfgabenstellung)
> [mm]\Rightarrow[/mm] g=h was ein widerspruch zur annahme wäre...
Hallo,
dieser Schluß ist so nicht richtig.
Wenn die Bildmengen zweier Funktionen übereinstimmen, müssen die Funktionen noch lange nicht gleich sein, denk an sin und cos.
> > Dann gäbe es ein [mm]y\in[/mm] M' mit [mm]g(y)\not=h(y).[/mm]
> >
> Da f surjektiv gibt es zu diesem [mm]y\in[/mm] M' mindestens ein
> [mm]x\in[/mm] M mit y=f(x)
Also gibt es ein x [mm] \in [/mm] M so, daß [mm] g(f(x))=g(y)\not=h(y)=g(f(x))
[/mm]
==> ... und damit haben wir dann den Widerspruch .
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:00 Do 01.11.2007 | | Autor: | Betman |
oh man wie blind...
tut mir leid, hatte da gar ncith dran gedahct obwohl du es ja grade vorher geschrieben hast... wie bescheuert!!
aber trotzdem vielen dank und für die geduld
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