Surjektivität < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:44 So 30.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei A eine endliche abelsche Gruppe und [mm] \hat{A} [/mm] die zugehörige duale Gruppe, d.h. die Menge aller Charaktere von A.
Seien [mm] l^2(A) [/mm] und [mm] l^2(\hat{A}) [/mm] die zugehörigen Hilberträume, die insbesondere mit [mm] \IC^{A} [/mm] bzw. [mm] \IC^{\hat{A}} [/mm] übereinstimmen.
Zudem ist [mm] \langle{g},h\rangle=\langle{\hat{g}},\hat{h}\rangle [/mm] für alle [mm] g,h\in{l^2(A)}.
[/mm]
Sei nun [mm] \Phi:l^2(A)\rightarrow{l^2(\hat{A})} [/mm] mit [mm] f\mapsto{\hat{f}} [/mm] ein Monomomorphismus.
Weisen Sie die Surjektivität des Monomorphismus nach.
|
Tag Leute,
ich hatte die Aufgabe ja schon mal drin, hab inzwischen aber von meinem Prof. noch an Tipp dazu bekommen.
Er meinte ich würde die Surjektivität bekommen, wenn ich hierbei die Abbildung [mm] l^2(A)\rightarrow{l^2(\hat{\hat{A}})} [/mm] mit [mm] f\mapsto{\hat{\hat{f}}} [/mm] verwende, genauer gesagt
die Gleichung [mm] \hat{\hat{f}}(\delta_a)=f(a^{-1}), [/mm] wobei [mm] \delta_a:\hat{A}\rightarrow{\mathbb{T}} [/mm] mit [mm] \mathcal{X}\mapsto{\mathcal{X}(a)} [/mm] für jeden Charakter [mm] \mathcal{X}\in{\hat{A}}.
[/mm]
Also ich muss mir ja jetzt daraus für ein beliebiges [mm] \hat{f}\in{l^2(\hat{A})} [/mm] ein [mm] g\in{l^2(A)} [/mm] basteln, sodass [mm] \Phi(g)=\hat{f}.
[/mm]
Da sitz ich jetz aber schon ne ganze Weile dran und kriegs dennoch nicht hin.
[mm] \text{Zuletzt war meine Idee, ich setze einfach }g(a):=\hat{\hat{f}}(\delta_{a^{-1}})\text{, d.h. }\Phi(g(a))=\Phi(\hat{\hat{f(\delta_{a^{-1}}}}))=\Phi(f(a))=\hat{f}(a)\text{, aber das sieht mir irgendwie nach Blödsinn aus.}
[/mm]
Deswegen wende ich mich hoffnungsvoll an Euch! Wär also echt klasse, wenn jemand helfen könnt.
Danke vorab schon mal!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:06 Di 01.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Auch auf die Gefahr hin , dass ich mich wiederhole.
Es wär echt klasse, wenn jemand an Tipp hätte wie ich hierbei die Surjektivität richtig nachweise. Ich verzweifel sonst noch an der Aufgabe!
Vielen Dank schon mal!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 02.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
