Surjektivitaet < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Mo 24.01.2005 | | Autor: | LOLO |
Hallo, alle zusammen!
Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich nicht weiss, wie ich anfangen soll. ich habe einiges versucht, aber ich komme nicht aufs ergebnis.
Kann mir bitte jemand helfen und sagen, wie es gehen soll?
thanks
K ist ein koerper, seinen V1 und V2 K-Vektorraueme. Weiterhin seien U1 teilmenge von V1 und U2 ist teilmengen von V2 Unterraume von V1 bzw. V2
Nun sein f: V1 [mm] \to [/mm] V2 eine lineare Abbildung mit f(U1) teilmenge U2
Wir definieren:
g: [mm] V1\U1 \to V2\U2
[/mm]
durch g(x+U1) = f(x) + U2 fuer x [mm] \in [/mm] V
(a) ist f surjektiv, so ist g surjektiv.
(b) ist [mm] f^{-1} [/mm] (U2) teilmenge U1 , so ist g injektiv.
(c) bestimme den kern von g.
Wie mache ich diese Aufgaben? bitte helft mir! danke!
* Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo LOLO!
> (a) ist f surjektiv, so ist g surjektiv.
Seien [mm] $x_1\in V_1, x_2\in V_2$. [/mm] Da $f$ surjektiv ist, gibt es ein [mm] $x_3\in V_1$ [/mm] mit [mm] $f(x_3)=x_2$. [/mm] Für dieses [mm] $x_3$ [/mm] gilt [mm] $g(x_3+U_1)=f(x_3)+U_2=x_2+U_2$. [/mm] Daher ist auch $g$ surjektiv.
> (b) ist $ [mm] f^{-1} [/mm] $ (U2) teilmenge U1 , so ist g injektiv.
Seien [mm] $x_1,x_2\in V_1$ [/mm] und [mm] $g(x_1+U_1)=g(x_2+U_1)\gdw f(x_1)+U_2=f(x_2)+U_2\gdw f(x_1)-f(x_2)=f(x_1-x_2)\in U_2$. [/mm] Da [mm] $f^{-1}(U_2)\subset U_1$ [/mm] gilt, folgt [mm] $x_1-x_2\in U_1\Rightarrow x_1+U_1=x_2+U_1$. [/mm] Damit ist $f$ injektiv.
Klar? Was hast du dir bisher zu (c) überlegt?
Liebe Grüße,
Hanno
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