Surjektiv oder injektiv < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Sa 24.04.2010 | | Autor: | Help23 |
| Aufgabe | Skizzieren sie die Funktionen und überprüfen sie diese auf Injektivität und Surjektivität:
a) [mm] f:\{x|x \in \IR x \ge0\} \to \IR, f(x)=x^4
[/mm]
b) g: [mm] \IR \to \{y|y \in \IR y \ge3\} g(x)=x^2+3
[/mm]
c)h: [mm] \IR \to \IR, [/mm] h(x)=5x-3
d) : [mm] \IR \to \IR, [/mm] s(x) = 3 |
Also ich bin zu dem Ergebnis gekommen, dass
a) , b) und d) surjektiv sind, da einem Y - Wert mehrere X - Werte zugeordnet werden
c) hingegen ist injektiv, da jedes Element der Zielmenge nur einmal angenommen wird......
Sehe ich das so richtig, oder habe ich das falsch verstanden????
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Hallo,
deine Frage macht den Eindruck, als würdest du denken, dass eine Funktion entweder nur injektiv oder surjektiv sein kann.
Dies ist nicht der Fall - beides ist möglich!
Schau' dir dazu mal die Artikel bei Wikipedia an, die sind ganz nützlich, um Surjektivität und Injektivität zu verstehen:
- ![[]](/images/popup.gif) Injektivität
- Surjektivität
> Skizzieren sie die Funktionen und überprüfen sie diese
> auf Injektivität und Surjektivität:
>
> a) [mm]f:\{x|x \in \IR x \ge0\} \to \IR, f(x)=x^4[/mm]
>
> b) g: [mm]\IR \to \{y|y \in \IR y \ge3\} g(x)=x^2+3[/mm]
>
> c)h: [mm]\IR \to \IR,[/mm] h(x)=5x-3
>
> d) : [mm]\IR \to \IR,[/mm] s(x) = 3
> Also ich bin zu dem Ergebnis gekommen, dass
>
> a) , b) und d) surjektiv sind, da einem Y - Wert mehrere X
> - Werte zugeordnet werden
Begründung falsch - Ergebnisse leider auch.
Surjektiv bedeutet, dass jeder Wert des angegebenen Wertebereichs auch angenommen wird!
a) ist nicht surjektiv. Warum?
b) ist surjektiv. Warum?
c) und d) überlasse ich dir.
> c) hingegen ist injektiv, da jedes Element der Zielmenge
> nur einmal angenommen wird......
Das ist richtig. Schau dir aber auch nochmal a) an!
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Sa 24.04.2010 | | Autor: | Help23 |
Also so ganz steig ich da noch nicht durch.....
d)
ich ordne hier doch einem y ganz viele verschiedene x zu, deshalb wäre es für mich surjektiv und es werden doch auch alle Werte aus dem Wertebereich angenommen......
und a) und b) versteh ich gar nicht.....auch hier habe ich für ein y wieder mehrere x aber das mit dem Wertebereich vertehe ich hier nicht so ganz....
Ehrlich gesagt, verstehe ich das mit dem Wertebereich überhaupt noch nicht so ganz......
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Hallo,
es wird bei a) auf [mm] \IR [/mm] abgebildet. Ich behaupte, dass durch die Funktionsvorschrift [mm] f(x)=x^4 [/mm] nicht alle reellen Werte angenommen werden, oder kennst du eine reelle Zahl [mm] a:a^4=-1 [/mm] ... ? Jedoch ist die Funktion injektiv, da nur $ [mm] x\ge [/mm] 0 $ zugelassen sind, es wird also nur der Parabelast im ersten quadranten betrachtet.
b) ist surjektiv, denn der Bereich auf den abgebildet wird sind [mm] \{y:y\in\IR\ und\ y\ge 3\}, [/mm] alle werte [mm] \ge [/mm] 3 werden angenommen [mm] \Rightarrow [/mm] surjektiv.
c) ist sowohl als auch. Die Zuordnung ist eindeutig [mm] \Rightarrow [/mm] injektiv, also einem x-Wert wird auch genau ein funktionswert zugeordnet und es ist surjektiv, weil alle rellen Werte angenommen werden.
Jetzt klar(er) ? Die Frage ist immer, worauf abgebildet wird, wenn der angegebene Bereich ganz [mm] \IR [/mm] ist, die Funktion aber [mm] x^2 [/mm] oder [mm] x^4 [/mm] lautet kann das ganze nicht surjektiv sein, es werden ja nur werte in [mm] \IR^{+} [/mm] angenommen. Wäre angegeben von [mm] \IR\to\IR^{+} [/mm] so wäre [mm] x^4 [/mm] surjektiv.
Für Surjektivität ist entscheidend, dass alle Werte des Wertebereiches angenommen werden, nicht, dass mehreren x-Werten ein y-Wert zugeordnet wird, dies bedeutet nur, dass die Funktion nicht injektiv ist.
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 So 25.04.2010 | | Autor: | Help23 |
So langsam wird mir das ganze klarer.....
Heißt das für d) dann:
d) ist auf jeden Fall NICHt injektiv, da einem Y - Wert mehrere x - Werte zugeordnet weden (also wird schon mal nicht jedes Element der Zielmenge nur einmal abgebildet)
d) ist Surjektiv, da alle reellen Zahlen angenommen werden.....
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Hallo Help23,
> So langsam wird mir das ganze klarer.....
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> Heißt das für d) dann:
>
> d) ist auf jeden Fall NICHt injektiv, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") da einem Y - Wert
> mehrere x - Werte zugeordnet weden (also wird schon mal
> nicht jedes Element der Zielmenge nur einmal abgebildet)
Genau, es ist etwa $s(1)=s(2)=3$, also haben [mm] $x_1=1$ [/mm] und [mm] $x_2=2$ [/mm] dasselbe Bild, nämlich $s(1)=s(2)=3$
>
> d) ist Surjektiv, da alle reellen Zahlen angenommen
> werden.....
Ach ja?
Für welches [mm] $x\in\IR$ [/mm] ist denn zB. $s(x)=0$ ?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 So 25.04.2010 | | Autor: | Help23 |
Ach, ok......ich habe mir jetzt nur angeschaut, welche x - Werte y zugeordnet werden können....
d.h. ich muss auch schauen, welche y - werte angenommen werden können, da das ganze ja heißt [mm] \IR \to \IR [/mm]
In diesem Fall ist das aber nur 3,also ist meine Funktion weder injektiv noch surjektiv???????
Hach...dieser ganze logisch denken Kram 
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Hallo nochmal,
> Ach, ok......ich habe mir jetzt nur angeschaut, welche x -
> Werte y zugeordnet werden können....
Das hat aber nix mit Surjektivität zu tun.
$s$ surjektiv bedeutet, dass es zu jedem y aus dem Zielbereich (mindestens) ein x aus dem Definitionsbereich gibt, das diesem y zugeordent wird, also mit $s(x)=y$
>
> d.h. ich muss auch schauen, welche y - werte angenommen
> werden können, da das ganze ja heißt [mm]\IR \to \IR[/mm]
Hmm, ja, in diesem Falle ist der Zielbereich [mm] $\IR$, [/mm] also muss sich für Surjektivität zu jeder reellen Zahl $y$ ein Urbild x angeben lassen, also ein [mm] x\in\IR [/mm] (Definitionsbereich) mit $s(x)=y$
>
> In diesem Fall ist das aber nur 3,also ist meine Funktion
> weder injektiv noch surjektiv???????
>
> Hach...dieser ganze logisch denken Kram
Wenn du dich ein bisschen an die Definitionen von Inj./Surj. und den Umgang mit ihnen gewöhnt hat, fällt dir das auch leichter ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:42 So 25.04.2010 | | Autor: | Help23 |
Vielen Dank für die Gedult....so langsam hat´s klick gemacht 
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