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Suprenum/Teilmenge: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 Mo 06.02.2012
Autor: yangwar1

Aufgabe
Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] existiert ein x [mm] \in [/mm] A mit sup A - [mm] \varepsilon [/mm] < x < sup A (A nichtleere Teilmenge von [mm] \IR [/mm] ohne Maximum

Die rechte Ungleichung ist klar.
Bei der zweiten Ungleichung habe ich ein Problem. Und zwar habe ich noch ein Verständniseprobleme mit Aussagen wie, "zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt es ein x aus ...".
Ich habe den Beweis für die erste Ungleichung als Lösung und schreibe diese einfach einmal hier herein.

Beweis: Angenommen, für alles x [mm] \in [/mm] A gilt x < oder = sup A - [mm] \varepsilon. [/mm] Dann ist sup A - [mm] \varepsilon [/mm] eine obere Schranke von A, die kleiner ist als sup A. Dies kann aber nicht sein, denn sup A ist die kleinste obere Schranke. Also gibt es ein x aus A mit sup A - [mm] \varepsilon [/mm] < x.

Behauptet wird also, dass für ale Epsilon größer 0 ein x aus A existiert.
Da hier ein Widerspruchsbeweis geführt wird, muss also gesagt werden: ES gibt ein Epsilon größer 0, sodass für alle x aus A gilt...

Ist das so richtig? Man muss also immer nur die Quantoren negieren?

        
Bezug
Suprenum/Teilmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:55 Mo 06.02.2012
Autor: leduart

Hallo
in deinem Beweis fehlt, dass A kein max hat, also kann er so nicht stimmen. denn wenn A nur die Menge {1,2} ist supA=2 [mm] \epsilon=1.1? [/mm]
Gruss leduart

Bezug
        
Bezug
Suprenum/Teilmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:03 Mo 06.02.2012
Autor: fred97


> Zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] existiert ein x [mm]\in[/mm] A mit sup A -
> [mm]\varepsilon[/mm] < x < sup A (A nichtleere Teilmenge von [mm]\IR[/mm]
> ohne Maximum
>  Die rechte Ungleichung ist klar.

Mir nicht.

Da soll wohl  x  [mm] \le [/mm]  sup A  stehen.



>  Bei der zweiten Ungleichung habe ich ein Problem. Und zwar
> habe ich noch ein Verständniseprobleme mit Aussagen wie,
> "zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gibt es ein x aus ...".
> Ich habe den Beweis für die erste Ungleichung als Lösung
> und schreibe diese einfach einmal hier herein.
>
> Beweis: Angenommen, für alles x [mm]\in[/mm] A gilt x < oder = sup
> A - [mm]\varepsilon.[/mm] Dann ist sup A - [mm]\varepsilon[/mm] eine obere
> Schranke von A, die kleiner ist als sup A. Dies kann aber
> nicht sein, denn sup A ist die kleinste obere Schranke.
> Also gibt es ein x aus A mit sup A - [mm]\varepsilon[/mm] < x.
>  
> Behauptet wird also, dass für ale Epsilon größer 0 ein x
> aus A existiert


.....  mit x>sup A - [mm] \varepsilon. [/mm]


>  Da hier ein Widerspruchsbeweis geführt wird, muss also
> gesagt werden: ES gibt ein Epsilon größer 0, sodass für
> alle x aus A gilt...

             x [mm] \le [/mm] sup A - [mm] \varepsilon [/mm]

>  
> Ist das so richtig?

Ja





> Man muss also immer nur die Quantoren negieren?

negieren ? Nein: umdrehen

FRED


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