Supremumsnorm von f''(x) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 Di 22.05.2007 | | Autor: | peter_d |
| Aufgabe | [mm] $\text{Man beweise: } \int_0^1f(x) [/mm] dx = [mm] \dfrac12[f(0)+f(1)]+\int_0^1\dfrac{x(x-1)}{2}f''(x) [/mm] dx$
[mm] $\text{und dass daher }\left|\int_0^1 f(x) dx -\dfrac12[f(0)+f(1)]\right| \leq \dfrac{1}{12}||f''||_\infty$ [/mm] |
Hallo.
Den ersten Teil der Aufgabe habe ich schon gelöst.
Der zweite Teil bereitet mir aber Probleme, denn wir hatten nichts vergleichbares in der Vorlesung.
Heute hatten wir zwar:
[mm] $\left|\int_a^b f dx\right| \leq (b-a)||f||_\infty$
[/mm]
Das gilt für sprungstetige Funktionen.
Wenn ich das hier anwende (geht das überhaupt?), dann:
$... [mm] \left| \int_0^1 f''\right| \leq ||f''||_\infty$
[/mm]
Komme hier aber nicht weiter (falls das überhaupt legitim war...)
Hoffe, hat jemand einen Tipp für mich.
Danke und Gruß
Peter
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> [mm]\left|\int_a^b f dx\right| \leq (b-a)||f||_\infty[/mm]
Hiho,
bei dieser Ungleichung fehlt ein entscheidender schritt, ich schreibs dir mal anders auf 
[mm]\left|\int_a^b f dx\right| \leq \int_a^b 1 dx * ||f||_\infty =(b-a)||f||_\infty[/mm]
Damit wird deine Aufgabe recht einfach:
[mm]|\integral_{0}^{1}{f(x) dx} - \bruch{1}{2}(f(0) + f(1))| = |\integral_{0}^{1}{\bruch{x(x-1)}{2} * f''(x) dx}|[/mm] (nach 1.)
[mm] \le ||f||_\infty * |\integral_{0}^{1}{\bruch{x(x-1)}{2}| = ||f||_\infty * \bruch{1}{12}[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 Mi 23.05.2007 | | Autor: | peter_d |
vielen dank, war ja doch einfacher als gedacht :)
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