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| Aufgabe | Sei X eine beliebige Menge, dann heißt eine Abbildung f:X [mm] \to \IR [/mm] nach oben/unten beschränkt, falls die Bildmenge f(X):={f(x)|x [mm] \in [/mm] X} nach oben/unten beschränkt ist. In diesem Fall setzt man sup f:= sup f(X) bzw. inf f:=inf f(X).
(a) Zeigen Sie: f,g: X [mm] \to \IR [/mm] nach oben/unten beschränkt, so ist auch f+g nach oben/unten beschränkt und es gilt
sup (f+g) [mm] \le [/mm] sup f +sup g
und
inf (f+g) [mm] \le [/mm] inf f + inf g.
(b) Geben Sie jeweils Beispiele an, in denen die obrigen Ungleichungen streng erfüllt sind. |
Gute Abend.
Ich grüble jetzt schon länger an dieser Aufgabe.
Meine Gedanken dazu:
zu (a):
wenn f,g nach oben beschränkt sind, dann besitzen sie ein Supremum.
für f+g gilt: X [mm] \to \IR [/mm] ; x [mm] \to [/mm] f(x)+g(x)
tja wie zeige ich nun, dass f+g auch immer nach oben beschränkt ist.
klar ist mir das schon, jedoch fehlt mir hier irgendwie der Ansatz zum Beweis.(Infimumsbeweis wird dann ja analog laufen)
Dann ist ja noch zu zeigen,dass sup (f+g) [mm] \le [/mm] sup f + sup g
Hier ist mir auch unklar, wann denn der Fall "<" auftritt.
sieht mir ganz nach der Dreiecksungleichung aus. Leider hilft mir das noch nichr weiter.
Jedes Beispiel welches ich mir für f und g wähle zeigt
sup(f+g) = sup f +sup g
Auch hier fehlt mir der Denkanstoss und anscheinend auch das Verständnis.
Da f und g aus der selben Menge X Elemente schicken besitzen sie den selben Definitionsbereich. Sonst hätte ich für die Ungleichung über eingeschränkte Def.-Bereiche Funktionen finden können (z.B. Wurzefunktionen in [mm] \IR) [/mm] wodurch auch der Fall "ungleich" auftreten würde.
Das hilft mir jedoch noch nicht für den Beweis, doch ich wollte mir einfach die Ungleichung veranschaulichen, um zu verstehen, was ich zeigen soll.
zu (b)
habe ich ohne einen Plan von (a) leider garkeinen Ansatz.
Wäre super wenn mir jemand helfen könnte.
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Gruß
Lucky-Luke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 So 09.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm M=(0,1) f(x)-x, g(x)=-x/2
supf(x)=1 supg(x)-0 supf+g =1/2
Gruss leduart
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