Supremum explizit angeben < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Do 10.10.2013 | | Autor: | hula |
Hallööööchen!
Ich habe eine Frage zu einer Folge von Suprema: Sei [mm] $A_n\subset \mathbb{R}$ [/mm] so dass [mm] $A_n\supset A_{n+1}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$. [/mm] Ich weiss, dass es sicher nur EIN Element $a$ gibt, so dass [mm] $a\in A_n$ [/mm] für alle $n$. Wir nehmen an, dass [mm] $\sup\{x: x\in A_0\}<\infty$, [/mm] dass heisst, da die Menge verschachtelt ist, dass [mm] $\sup\{x:x\in A_n\}$ [/mm] endlich und fallend in $n$ ist. Nun betrachte ich folgenden Ausdruck:
[mm] $\lim_n \sup\{x: x\in A_n\}$
[/mm]
Da [mm] $(sup\{x:x\in A_n\})$ [/mm] eine monoton fallende Folge ist, gilt:
[mm] $\lim_n \sup\{x: x\in A_n\}=\inf_n \sup\{x:x\in A_n\}$
[/mm]
Da ich weiss, dass [mm] $a\in A_n$ [/mm] für jedes $n$, gilt [mm] $\sup\{x:x\in A_n\}\ge a\forall [/mm] n$. Wie kann ich jetzt formal schliessen, dass
[mm] $\lim_n \sup\{x: x\in A_n\}=\inf_n \sup\{x:x\in A_n\}=a$
[/mm]
gilt? Es ist offensichtlich, dass dies gelten muss, aber ich würde es gerne auch formal anschreiben. Danke für eure Hilfe.
Grüsse
hula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Do 10.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo hula,
> Ich habe eine Frage zu einer Folge von Suprema: Sei
> [mm]A_n\subset \mathbb{R}[/mm] so dass [mm]A_n\supset A_{n+1}[/mm] für alle
> [mm]n\in\mathbb{N}[/mm]. Ich weiss, dass es sicher nur EIN Element [mm]a[/mm]
> gibt, so dass [mm]a\in A_n[/mm] für alle [mm]n[/mm].
Du meinst GENAU ein Element $a$, oder?
> Wir nehmen an, dass
> [mm]\sup\{x: x\in A_0\}<\infty[/mm], dass heisst, da die Menge
> verschachtelt ist, dass [mm]\sup\{x:x\in A_n\}[/mm] endlich und
> fallend in [mm]n[/mm] ist.
Vorausgesetzt [mm] $A_n\not=\emptyset$ [/mm] ja. Dies ist insbesondere der Fall, falls es wirklich ein [mm] $a\in\IR$ [/mm] mit [mm] $a\in A_n$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gibt.
Es gilt übrigens [mm] $\{x\;|\;x\in A_n\}=A_n$... [/mm] 
> Nun betrachte ich folgenden Ausdruck:
>
> [mm]\lim_n \sup\{x: x\in A_n\}[/mm]
>
> Da [mm](sup\{x:x\in A_n\})[/mm] eine monoton fallende Folge ist,
> gilt:
Ja.
>
> [mm]\lim_n \sup\{x: x\in A_n\}=\inf_n \sup\{x:x\in A_n\}[/mm]
Ja.
>
> Da ich weiss, dass [mm]a\in A_n[/mm] für jedes [mm]n[/mm], gilt [mm]\sup\{x:x\in A_n\}\ge a\forall n[/mm].
Ja.
> Wie kann ich jetzt formal schliessen, dass
>
> [mm]\lim_n \sup\{x: x\in A_n\}=\inf_n \sup\{x:x\in A_n\}=a[/mm]
>
> gilt? Es ist offensichtlich, dass dies gelten muss, aber
> ich würde es gerne auch formal anschreiben. Danke für
> eure Hilfe.
Das kannst du gar nicht schließen, es stimmt nämlich im Allgemeinen nicht.
Betrachte etwa
[mm] $A_n:=\{-1\}\cup\{\bruch1m\;|\;m\in\IN,m>n\}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Do 10.10.2013 | | Autor: | hula |
Hallo tobi
Danke für die schnelle Antwort! Ich wollte das Problem vereinfache, habe es aber wohl dadurch verfälscht. Die Menge [mm] $A_n$ [/mm] ist eigentlich speziel: Sei [mm] $f\in C_b(\mathbb{R}$ [/mm] eine stetige beschränkte Funktion auf [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] und fixiert. Nun wähle ich [mm] $B_n:=\{\frac{k}{n}:k=0,1,\dots\}$ [/mm] und [mm] $C_i=\cup_{n\le i}B_k$. [/mm] Dies nur, dass [mm] $C_i\subset C_{i+1}$. [/mm] Es gilt
[mm] $\cup_{i\ge 0} C_i =\mathbb{Q}$
[/mm]
Nun sei [mm] $A_n:=\{g\in C_b(\mathbb{R}):g=f \mbox{ auf }C_n\}$, [/mm] d.h. alle Funktionen $g$ (stetig und beschränkt), die auf [mm] $C_n$ [/mm] mit $f$ übereinstimmen. Nun bin ich an folgendem interessiert:
[mm] $\lim_n \sup\{\|g\|_\infty:g\in A_n\}$
[/mm]
Wobei [mm] $\|g\|_\infty$ [/mm] die Supremumsnorm bezeichnet. Wiederum, es ist klar, dass [mm] $f\in A_n$ [/mm] für alle $n$. Des Weiteren, ist dies die einzige Funktion: Gäbe es eine Funktion $g$, so dass [mm] $g\in A_n$ [/mm] für alle $n$, dann würden $g$ und $f$ auf [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] übereinstimmen und aufgrund der Stetigkeit dann auf ganz [mm] $\mathbb{R}$, [/mm] also sind sie gleich.
Wieder weiss ich, dass
[mm] $\lim_n \sup\{\|g\|_\infty:g\in A_n\}=\inf_n\sup\{\|g\|_\infty:g\in A_n\}\ge \|f\|_\infty$
[/mm]
Hier sollte es nun intuitiv klar sein, dass es wirklich [mm] $\|f\|_\infty$ [/mm] ist, aber wie kann ich das formal anschreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Do 10.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Sei [mm]f\in C_b(\mathbb{R}[/mm]
> eine stetige beschränkte Funktion auf [mm]\mathbb{R}[/mm] und
> fixiert. Nun wähle ich [mm]B_n:=\{\frac{k}{n}:k=0,1,\dots\}[/mm]
> und [mm]C_i=\cup_{n\le i}B_k[/mm].
[mm] $C_i=\cup_{n\le i}B_\blue{n}$ [/mm] meinst du sicherlich.
Welche Werte durchläuft $n$? Nur natürliche Zahlen ungleich $0$ oder auch die negativen ganzen Zahlen?
> Dies nur, dass [mm]C_i\subset C_{i+1}[/mm].
> Es gilt
>
> [mm]\cup_{i\ge 0} C_i =\mathbb{Q}[/mm]
Nur, wenn $n$ auch die negativen ganzen Zahlen durchläuft. Ansonsten fehlen in der Vereinigung der [mm] $C_i$ [/mm] die negativen rationalen Zahlen.
> Nun sei [mm]A_n:=\{g\in C_b(\mathbb{R}):g=f \mbox{ auf }C_n\}[/mm],
> d.h. alle Funktionen [mm]g[/mm] (stetig und beschränkt), die auf
> [mm]C_n[/mm] mit [mm]f[/mm] übereinstimmen. Nun bin ich an folgendem
> interessiert:
>
> [mm]\lim_n \sup\{\|g\|_\infty:g\in A_n\}[/mm]
Das ist kein sonderlich interessanter Wert, denn [mm] $\{\|g\|_\infty\;|\;g\in A_n\}$ [/mm] ist nach oben unbeschränkt für alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Also [mm] $\sup\{\|g\|_\infty\;|\;g\in A_n\}=\infty$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und damit [mm] $\lim_n \sup\{\|g\|_\infty:g\in A_n\}=\infty$.
[/mm]
> Wobei [mm]\|g\|_\infty[/mm] die Supremumsnorm bezeichnet. Wiederum,
> es ist klar, dass [mm]f\in A_n[/mm] für alle [mm]n[/mm].
Ja.
> Des Weiteren, ist
> dies die einzige Funktion: Gäbe es eine Funktion [mm]g[/mm], so
> dass [mm]g\in A_n[/mm] für alle [mm]n[/mm], dann würden [mm]g[/mm] und [mm]f[/mm] auf
> [mm]\mathbb{Q}[/mm] übereinstimmen und aufgrund der Stetigkeit dann
> auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm], also sind sie gleich.
Ja.
> Wieder weiss ich, dass
>
> [mm]\lim_n \sup\{\|g\|_\infty:g\in A_n\}=\inf_n\sup\{\|g\|_\infty:g\in A_n\}\ge \|f\|_\infty[/mm]
Ja.
> Hier sollte es nun intuitiv klar sein, dass es wirklich
> [mm]\|f\|_\infty[/mm] ist, aber wie kann ich das formal anschreiben?
S.o.: Nein, das stimmt wieder nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Do 10.10.2013 | | Autor: | hula |
> > Sei [mm]f\in C_b(\mathbb{R}_+)[/mm]
> > eine stetige beschränkte Funktion auf [mm]\mathbb{R}[/mm] und
> > fixiert. Nun wähle ich [mm]B_n:=\{\frac{k}{n}:k=0,1,\dots\}[/mm]
> > und [mm]C_i=\cup_{n\le i}B_k[/mm].
> [mm]C_i=\cup_{n\le i}B_\blue{n}[/mm]
> meinst du sicherlich.
Genau!
> Welche Werte durchläuft [mm]n[/mm]? Nur natürliche Zahlen ungleich
> [mm]0[/mm] oder auch die negativen ganzen Zahlen?
Nein, nur natürlichen Zahlen
> > Dies nur, dass [mm]C_i\subset C_{i+1}[/mm].
> > Es gilt
> >
> > [mm]\cup_{i\ge 0} C_i =\mathbb{Q}[/mm]
> Nur, wenn [mm]n[/mm] auch die
> negativen ganzen Zahlen durchläuft. Ansonsten fehlen in
> der Vereinigung der [mm]C_i[/mm] die negativen rationalen Zahlen.
Richtig, daher gilt eigentlich: [mm]\cup_{i\ge 0} C_i =\mathbb{Q}_+[/mm]. Aber wir betrachten der Einfachheit halber, nur Funktionen [mm] $f\in C_b(\mathbb{R}_+)$
[/mm]
> > Nun sei [mm]A_n:=\{g\in C_b(\mathbb{R}_+):g=f \mbox{ auf }C_n\}[/mm],
> > d.h. alle Funktionen [mm]g[/mm] (stetig und beschränkt), die auf
> > [mm]C_n[/mm] mit [mm]f[/mm] übereinstimmen. Nun bin ich an folgendem
> > interessiert:
> >
> > [mm]\lim_n \sup\{\|g\|_\infty:g\in A_n\}[/mm]
> Das ist kein
> sonderlich interessanter Wert, denn [mm]\{\|g\|_\infty\;|\;g\in A_n\}[/mm]
> ist nach oben unbeschränkt für alle [mm]n\in\IN[/mm].
> Also [mm]\sup\{\|g\|_\infty\;|\;g\in A_n\}=\infty[/mm] für alle
> [mm]n\in\IN[/mm] und damit [mm]\lim_n \sup\{\|g\|_\infty:g\in A_n\}=\infty[/mm].
Wir nehmen an, dass [mm] $\sup\{\|g\|_\infty: g\in A_0\}<\infty$, [/mm] so dass es nach oben beschränkt ist. Alternativ, können wir auch Funktionen nehmen, die gleichmässig beschränkt sind. Das ist nur ein technische Annahme, d.h. ich kann wirklich annehmen, dass dieses supremum endlich ist.
> > Wobei [mm]\|g\|_\infty[/mm] die Supremumsnorm bezeichnet. Wiederum,
> > es ist klar, dass [mm]f\in A_n[/mm] für alle [mm]n[/mm].
> Ja.
> > Des Weiteren, ist
> > dies die einzige Funktion: Gäbe es eine Funktion [mm]g[/mm], so
> > dass [mm]g\in A_n[/mm] für alle [mm]n[/mm], dann würden [mm]g[/mm] und [mm]f[/mm] auf
> > [mm]\mathbb{Q}[/mm] übereinstimmen und aufgrund der Stetigkeit dann
> > auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm], also sind sie gleich.
> Ja.
>
> > Wieder weiss ich, dass
> >
> > [mm]\lim_n \sup\{\|g\|_\infty:g\in A_n\}=\inf_n\sup\{\|g\|_\infty:g\in A_n\}\ge \|f\|_\infty[/mm]
>
> Ja.
>
> > Hier sollte es nun intuitiv klar sein, dass es wirklich
> > [mm]\|f\|_\infty[/mm] ist, aber wie kann ich das formal anschreiben?
> S.o.: Nein, das stimmt wieder nicht.
Und nun, stimmt meine Behauptung? Wenn ja, wie zeigt man die?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Do 10.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > > Sei [mm]f\in C_b(\mathbb{R}_+)[/mm]
> > > eine stetige beschränkte Funktion auf [mm]\mathbb{R}[/mm] und
> > > fixiert. Nun wähle ich [mm]B_n:=\{\frac{k}{n}:k=0,1,\dots\}[/mm]
> > > und [mm]C_i=\cup_{n\le i}B_k[/mm].
> > [mm]C_i=\cup_{n\le i}B_\blue{n}[/mm]
> > meinst du sicherlich.
> Genau!
> > Welche Werte durchläuft [mm]n[/mm]? Nur natürliche Zahlen
> ungleich
> > [mm]0[/mm] oder auch die negativen ganzen Zahlen?
> Nein, nur natürlichen Zahlen
> > > Dies nur, dass [mm]C_i\subset C_{i+1}[/mm].
> > > Es gilt
> > >
> > > [mm]\cup_{i\ge 0} C_i =\mathbb{Q}[/mm]
> > Nur, wenn [mm]n[/mm] auch die
> > negativen ganzen Zahlen durchläuft. Ansonsten fehlen in
> > der Vereinigung der [mm]C_i[/mm] die negativen rationalen Zahlen.
>
> Richtig, daher gilt eigentlich: [mm]\cup_{i\ge 0} C_i =\mathbb{Q}_+[/mm].
> Aber wir betrachten der Einfachheit halber, nur Funktionen
> [mm]f\in C_b(\mathbb{R}_+)[/mm]
OK, alles klar.
> > > Nun sei [mm]A_n:=\{g\in C_b(\mathbb{R}_+):g=f \mbox{ auf }C_n\}[/mm],
> > > d.h. alle Funktionen [mm]g[/mm] (stetig und beschränkt), die auf
> > > [mm]C_n[/mm] mit [mm]f[/mm] übereinstimmen. Nun bin ich an folgendem
> > > interessiert:
> > >
> > > [mm]\lim_n \sup\{\|g\|_\infty:g\in A_n\}[/mm]
> > Das ist kein
> > sonderlich interessanter Wert, denn [mm]\{\|g\|_\infty\;|\;g\in A_n\}[/mm]
> > ist nach oben unbeschränkt für alle [mm]n\in\IN[/mm].
> > Also [mm]\sup\{\|g\|_\infty\;|\;g\in A_n\}=\infty[/mm] für alle
> > [mm]n\in\IN[/mm] und damit [mm]\lim_n \sup\{\|g\|_\infty:g\in A_n\}=\infty[/mm].
>
> Wir nehmen an, dass [mm]\sup\{\|g\|_\infty: g\in A_0\}<\infty[/mm],
> so dass es nach oben beschränkt ist.
Das wäre eine falsche Annahme. Aus der kannst du folgern, was du willst...
> Alternativ, können
> wir auch Funktionen nehmen, die gleichmässig beschränkt
> sind.
Wie meinst du das genau? Gleichmäßig beschränkt kann nur eine Familie von Funktionen sein, nicht jede einzelne Funktion. Du betrachtest also eine vorgegebene gleichmäßig beschränkte Familie von Funktionen? Wie genau baust du diese Familie in dieses Problem ein?
> Das ist nur ein technische Annahme, d.h. ich kann
> wirklich annehmen, dass dieses supremum endlich ist.
Nein, es ist wirklich unendlich! Es lassen sich für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] Funktionen aus [mm] $C_b(\IR_+)$ [/mm] mit beliebig großer Supremumsnorm angeben, die auf [mm] $C_n$ [/mm] mit $f$ übereinstimmen:
Die beiden kleinsten Werte in [mm] $C_n$ [/mm] (für [mm] $n\ge [/mm] 1$) sind $0$ und [mm] $\bruch1n$. [/mm] Also können sich stetige beschränkte Funktionen [mm] $g\colon\IR_+\to\IR$, [/mm] die auf [mm] $C_n$ [/mm] mit $f$ übereinstimmen sollen, auf [mm] $(0,\bruch1n)$ [/mm] so verhalten, wie sie wollen, solange sie auf [mm] $[0,\bruch1n]$ [/mm] stetig sind.
Das nutzen wir nun aus (für [mm] $n\ge1$): [/mm] Sei [mm] $K\in\IR_+$ [/mm] vorgegeben. Wir suchen eine Funktion [mm] $g\in A_n$ [/mm] mit [mm] $\|g\|_\infty\ge [/mm] K$. Dazu definieren wir:
$g(0):=f(0)$, [mm] $g(\bruch1{2n}):=K$, [/mm] $g(x):=f(x)$ für alle [mm] $x\ge \bruch1n$
[/mm]
und setzen g jeweils linear auf [mm] $[0,\bruch1{2n}]$ [/mm] und [mm] $[\bruch1{2n},\bruch1n]$ [/mm] fort.
> > > Wobei [mm]\|g\|_\infty[/mm] die Supremumsnorm bezeichnet.
> Wiederum,
> > > es ist klar, dass [mm]f\in A_n[/mm] für alle [mm]n[/mm].
> > Ja.
> > > Des Weiteren, ist
> > > dies die einzige Funktion: Gäbe es eine Funktion [mm]g[/mm], so
> > > dass [mm]g\in A_n[/mm] für alle [mm]n[/mm], dann würden [mm]g[/mm] und [mm]f[/mm] auf
> > > [mm]\mathbb{Q}[/mm] übereinstimmen und aufgrund der Stetigkeit dann
> > > auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm], also sind sie gleich.
> > Ja.
> >
> > > Wieder weiss ich, dass
> > >
> > > [mm]\lim_n \sup\{\|g\|_\infty:g\in A_n\}=\inf_n\sup\{\|g\|_\infty:g\in A_n\}\ge \|f\|_\infty[/mm]
>
> >
> > Ja.
> >
> > > Hier sollte es nun intuitiv klar sein, dass es wirklich
> > > [mm]\|f\|_\infty[/mm] ist, aber wie kann ich das formal anschreiben?
> > S.o.: Nein, das stimmt wieder nicht.
> Und nun, stimmt meine Behauptung? Wenn ja, wie zeigt man
> die?
Wie gesagt: Sie stimmt nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Fr 11.10.2013 | | Autor: | hula |
Hallo tobi
Danke für deine HIlfe und Geduld. Ich habe allerdings eine Frage zu deinem Beispiel. Wieso zeigt dies genau, dass das supremum unendlich ist? Die so konstruierte Funktion wird ja nicht mehr in einem [mm] $A_n$ [/mm] liegen für genügend grosses $n$.
Gruss
hula
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Fr 11.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ich habe allerdings eine
> Frage zu deinem Beispiel. Wieso zeigt dies genau, dass das
> supremum unendlich ist? Die so konstruierte Funktion wird
> ja nicht mehr in einem [mm]A_n[/mm] liegen für genügend grosses
> [mm]n[/mm].
Letzteres stimmt im Allgemeinen.
Ziel war, zu zeigen, dass das betrachtete Supremum für EIN beliebig vorgegebenes [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n\ge [/mm] 1$ unendlich ist. (Da $n$ beliebig vorgegeben war, folgt dann die Unendlichkeit des Supremums für ALLE [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n\ge1$.)
[/mm]
Nun ist also zu zeigen, dass das Supremum für das vorgegebene $n$ unendlich ist. Dazu betrachten wir (zu jedem [mm] $K\in\IR_+$) [/mm] eine Funktion [mm] $g\in A_n$. [/mm] Dass diese Funktion im Allgemeinen nicht in [mm] $A_m$ [/mm] für große $m$ liegen wird, spielt für unsere Argumentation keine Rolle; wir wollen ja gerade nur für das vorgegebene $n$ nachweisen, dass das Supremum unendlich ist.
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