Supremum bzw. Maximum < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Folgende Aufgabe:
Untersuchen sie, ob die folgenden Mengen reeller Zahlen beschränkt sind, und bestimmen Sie gegebenfalls Supremum, Infimum, Maximum, Minimum.
A:= { [mm] 2^{-m} [/mm] + [mm] n^{-1} [/mm] : m,n [mm] \in \IN [/mm] }
B:= { [mm] \bruch{1}{n + 1} [/mm] + [mm] \bruch{1 + [-1]^{n}}{2n} [/mm] : n [mm] \in \IN [/mm] }
Danke für eure Antworten
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Fr 22.10.2004 | | Autor: | magister |
hi
lass uns bitte an deinen ersten versuchen bzw. konkreten ansätzen teilhaben, damit man anschliessend konkret auf deine fehler bzw. probleme eingehen kann.
alles liebe
magister
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Also, ich weiß gar nicht, wie ich diese Aufgabe angehen soll. Ich habe mir die entsprechenden Kapitel im "Heuser" und im "Rudin" (beides Bücher zu Analysis I) durchgelesen.
Dabei ist mir klar geworden, das die oberste Schranke einer Menge supremum heißt und dass, falls das supremum Teil der Menge ist auch als Maximum bezeichnet wird.
Das erste Beispiel hat doch die Schranken infA = 0 (ist aber kein minA, oder?) und supA ist 1,5 = maxA.
Die Beschränkheit weise ich (theoretisch) wie folgt nach:
s - [mm] \varepsilon [/mm] < x sein, oder?
Aber wie weise ich das konkret nach, und vor allem, was ist x? Ich habe doch m und n. Ich habe leider gar keine Vorstellung, wie bereits gesagt, leider gar keine Vorstellung, wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Wäre froh, wenn ihr mir helfen könntet (Ich studier doch erst seit einer Woche)
Mit freundlichen Grüßen
Kassandra
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Hallo Kassandra,
> Dabei ist mir klar geworden, das die oberste Schranke
> einer Menge supremum heißt und dass, falls das supremum
> Teil der Menge ist auch als Maximum bezeichnet wird.
Ja, das ist richtig.
> Das erste Beispiel hat doch die Schranken infA = 0 (ist
> aber kein minA, oder?) und supA ist 1,5 = maxA.
Das ist richtig. Wie würdest du das beweisen?
Wenn dir dieser Nachweis gelingt, dann hast du die Beschränktheit von A. Denn die ist ja nichts anderes, als dass die Menge eine untere und eine obere Schranke hat (und du gibtst mit dem Infimum und Supremum eine spezielle untere bzw. obere Schranke an).
> Die Beschränkheit weise ich (theoretisch) wie folgt nach:
>
> s - [mm]\varepsilon[/mm] < x sein, oder?
>
> Aber wie weise ich das konkret nach, und vor allem, was ist
> x? Ich habe doch m und n.
Diese Formel verstehe ich nicht.
Die Beschränktheit einer Menge A kann man so definieren, dass es eine Zahl s und eine positive Zahl [mm] \varepsilon [/mm] geben muss, so dass für jedes Element x von A die Ungleichung
$|s-x| < [mm] \varepsilon$
[/mm]
erfüllt ist.
Das ist gleichbedeutend mit
[mm] $-\varepsilon [/mm] < s-x < [mm] \varepsilon$
[/mm]
was man wiederum umstellen kann zu
[mm] $s-\varepsilon
Wenn du diese Definition der Beschränktheit verwendest, musst du also s und [mm] \varepsilon [/mm] angeben. Das x ist ein Element von A, also eine Zahl x = [mm] 2^{-m} [/mm] + [mm] n^{-1} [/mm] für irgendwelche natürlichen Zahlen m und n.
> Ich habe leider gar keine
> Vorstellung, wie bereits gesagt, leider gar keine
> Vorstellung, wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Vielleicht kommst du mit den ausgerechneten Werten für Infimum und Supremum auf geeignete Werte für s und [mm] \varepsilon.
[/mm]
Dieselben Überlegungen, die du bei der Menge A angestellt hast und noch anstellen wirst, wendest du auf die Menge B an.
Gruss,
SirJective
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:58 Di 26.10.2004 | | Autor: | Kassandra |
Ich habe das jetzt wirklich oft probiert aber es hat nicht geklappt, das 2. Beispiel kann ich z.B. nicht nach x auflösen. Bei Beispiel 1 komm ich auch nicht weiter.
Kannir jemand die Lösung (für beide Beispiele) Schritt für Schritt schreiben, so dass ich es daran nachvollziehen kann?
Danke im Voraus
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Hallo, die Methode die du beschrieben hast, habe ich ja verwendet, um supA bzw. infA rauszubekommen. Dies ist aber nur "Anschauung".
Ich soll/muss aber das mit dem sogenannten " [mm] \varepsilon [/mm] -Beweis " machen.
Kann mir wirklich niemand weiter helfen? Ich muss die Aufgaben morgen früh abgeben, es wäre jetzt also wirklich dringend.
Liebe Güße Kassandra
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Die Elemente der ersten Menge bestehen aus einer Summe von Termen, die einmal von m, das andere Mal von n hängen. Beide Summanden nehmen ihr Maximum an, und zwar für [mm]m=n=1[/mm]. Das Infimum der Menge ist Null, dazu ist zu zeigen, dass beide Summanden für ausreichend großes m bzw. n beliebig nahe an Null kommen.
Die Summe in der zweiten Menge bringt man am besten auf einen Bruchstrich. Dann lässt sich inf, sup bzw. min, max leichter bestimmen.
Abgesehen davon denke ich, du solltest deine Übungsaufgaben nicht im MatheRaum besprechen und lösen, sondern das lieber mit deinen Semesterkollegen, insbesondere mit einem vorhandenen Übungspartner tun.
Hugo
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hallo ich bin zwar kein mathe ass aber ne idde hab ich dennoch
also: zuerst mal setzt du für n und m 1 ein dann wirst du sehn das bei a für 2^-1 0,5 und für [mm] 1^1 [/mm] 1 rauskommt
d.h 0,5 + 1 = 1,5 wenn du nun 2 einstetzt das 2^-2 0,25 und 2^-1 0,5 rauskommt
das heist 1,5 ist sowohl supremum als auch max da 1,5 in der menge enthalten ist
nun das infimum : setzte eiene beliebig große nat zahl ein und du wirst sehn der erste teil wird 0 und der zweite teil ggeht gegen null
d.h 0 ist infimum aber net min
warum es kein min ist weiss ich auch net genau aber ich schätze weil der zeite teil nich null werden kann soory
hoffe ich konnte dir einwenig helfen
p.s. bei der zweiten aufgabe auch so verfahren
Wissen ist Macht, nichts wissen macht was
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