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Supremum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:24 Do 28.01.2021
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Gesucht sind Supremum und Infimum der Funktion

f: [0,∞)  [mm] \to [/mm]   R

f(x) = [mm] \bruch{x^2+1}{x+1} [/mm]

Diese Aufgabe stammt aus dem Netz:
https://www.massmatics.de/merkzettel/#!187:Supremum/Infimum
darin ist als Lösung angegeben:

[mm] sup_{x\in D} [/mm] (f(x)) = ∞    und   [mm] inf_{x\in D} [/mm] (f(x)) = 2 [mm] \wurzel{2} [/mm] - 2

Ich bin erstaunt über diese Lösung und weiß nicht: ist  ∞  als Supremum wirklich zugelassen oder haben nur nach oben beschränkte Funktionen ein Supremum?

        
Bezug
Supremum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:05 Fr 29.01.2021
Autor: Al-Chwarizmi

Nach dem, was ich seinerzeit mal gelernt habe (und auch
nach der Definition, die man bei Wikipedia findet), hat
eine nach oben unbeschränkte Menge kein Supremum.

Das ist aber wirklich nur Definitionssache ohne
wesentliche weitere Bedeutung.

Im Wiki-Artikel steht aber auch noch:

Ist T nach oben unbeschränkt, schreibt man:  sup T = +∞
Das Symbol +∞ ist dabei aber keine reelle Zahl und auch nicht das
Supremum von  T im hier definierten Sinne:
∞ als Supremumswert ist gerade die formale Schreibweise dafür,
dass
kein Supremum vorhanden ist, ......
Gelegentlich wird in diesem Zusammenhang
+∞ auch als „uneigentliches Supremum“ bezeichnet.


Bezug
        
Bezug
Supremum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:54 Fr 29.01.2021
Autor: fred97

Ergänzend zu Al:

Ist $ [mm] \emptyset \ne [/mm] A [mm] \subseteq \IR$, [/mm] so ist

    $ [mm] \sup [/mm] A = [mm] \infty$ [/mm]

nur eine abkürzende Schreibweise für

    "die Menge $A$ ist nach oben nicht beschränkt".



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