www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Naive Mengenlehre" - Suprema Element des Schnitts
Suprema Element des Schnitts < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Naive Mengenlehre"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Suprema Element des Schnitts: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 Fr 22.11.2013
Autor: Leimon_Sergaij

Aufgabe
Seien X,Y⊂R und nach oben beschränkt. Sei X∩Y nicht ∅. Außerdem sei sup(X)=max(X) und sup(Y)=max(Y).
Muss dann auch X∩Y ein Maximum besitzen?
Falls ja, beweisen Sie es. Falls nein, geben Sie ein Gegenbeispiel an.

Ich weiß dass das sup(X∩Y)≤min{supX,supY} ist.
Also finde ich keinen Beweisansatz für sup(X)=max(X) oder sup(Y)=max(Y), da sup(X) und sup(Y) nicht Element von X∩Y sein müssen.
Es folgt also eine Unabhängigkeit des sup(X∩Y) von den Suprema der Mengen X und Y.
Theoretisch würde daraus ja folgen, dass es Schnittmengen geben kann, in denen zwar sup(X)=max(X) und sup(Y)=max(Y), aber sup(X∩Y) [mm] \not\in [/mm] X∩Y.

Ich finde nach langer Suche kein Gegenbeispiel. Kann mir jemand helfen?


Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Suprema Element des Schnitts: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 Fr 22.11.2013
Autor: angela.h.b.

Hallo,

betrachte
[mm] X:=]1,2[\cup [/mm] [3,4]
und
[mm] Y:=]1,2[\cup [/mm] [5,6].

Die Mengen sind beschränkt, haben ein Maximum, und der Schnitt hat kein Maximum.

LG Angela

Bezug
                
Bezug
Suprema Element des Schnitts: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Fr 22.11.2013
Autor: Leimon_Sergaij

Huch. Ich verstehe deine Antwort garnicht.
Es scheitert an der Symbolik.

Was meinst du mit "]a,b[" ? Soll das das Intervall sein, dass alle Zahlen x [mm] \le [/mm] a [mm] \cup [/mm] x [mm] \ge [/mm] b darstellt sein?
Wenn dem so ist, wäre ja  X:= ]1,2[ [mm] \cap [/mm] [3,4] = [3,4] oder nicht?
Und  Y:= ]1,2[ [mm] \cap [/mm]  [5,6] = [5,6]??

Dann wäre aber X [mm] \cap [/mm] Y = [mm] \emptyset [/mm] , was es ja laut Aufgabenstellung nicht sein darf.


/Edit: Gerade ist mir aufgefallen: Meinst du mit ]a,b[ das offene Intervall, also (a,b) ? Wenn ja dann müsste man noch das Geschnitten drehen zu vereinigt. Also:
X:= (1,2) [mm] \cup [/mm] [3,4]
Y:= (1,2) [mm] \cup [/mm] [5,6]
Dann wäre X [mm] \cap [/mm] Y = (1,2) , sup(X [mm] \cap [/mm] Y)=2 und max{X [mm] \cap [/mm] Y} [mm] \not= [/mm] 2

Hey Prima, danke. So funktionierts.

Bezug
                        
Bezug
Suprema Element des Schnitts: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Fr 22.11.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Huch. Ich verstehe deine Antwort garnicht.
>  Es scheitert an der Symbolik.
>  
> Was meinst du mit "]a,b[" ? Soll das das Intervall sein,

es ist

    [mm] $]a,b[:=(a,b):=\{r \in \IR: a < r < b\}\,.$ [/mm]

> dass alle Zahlen x [mm]\le[/mm] a [mm]\cup[/mm] x [mm]\ge[/mm] b darstellt sein?

Für, und meist schreibt man obiges auch nur dafür hin, den Fall $a < [mm] b\,$ [/mm] wäre
es doch sehr unsinnig, sich die leere Menge [mm] $\varnothing$ [/mm] anders hinzuschreiben...

Es sind alle Zahlen, die [mm] $>a\,$ [/mm] und  auch [mm] $

>  Wenn dem so ist, wäre ja  X:= ]1,2[ [mm]\cap[/mm] [3,4] = [3,4]
> oder nicht?

Ne, hier wäre [mm] $X=\varnothing.$ [/mm] Angela meinte sicher [mm] $\cup$ [/mm] statt [mm] $\cap\,.$ [/mm]

Also:

    [mm] $X:=\;\;]1,2[ \;\;\cup\;\; [/mm] [3,4]$
(Nebenbei: [mm] $[a,b]=\{r \in \IR:\;\; a\le r \le b\}\,.$ [/mm] Lies einfach mal

    []Bemerkung und Definition 3.22.)

   [mm] $Y:=\;\;]1,2[\;\; \cup\;\; [5,6]\,.$ [/mm]

Du kannst übrigens auch

    $X:=[1,2[ [mm] \;\;\cup\;\; [4,5;\; [/mm] 5]$

und

    $Y:=]1,2] [mm] \;\;\cup\;\; [/mm] ]6,7[$

hernehmen...

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
Suprema Element des Schnitts: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:33 Fr 22.11.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Huch. Ich verstehe deine Antwort garnicht.
>  Es scheitert an der Symbolik.
>  
> Was meinst du mit "]a,b[" ? Soll das das Intervall sein,
> dass alle Zahlen x [mm]\le[/mm] a [mm]\cup[/mm] x [mm]\ge[/mm] b darstellt sein?
>  Wenn dem so ist, wäre ja  X:= ]1,2[ [mm]\cap[/mm] [3,4] = [3,4]
> oder nicht?
>  Und  Y:= ]1,2[ [mm]\cap[/mm]  [5,6] = [5,6]??
>  
> Dann wäre aber X [mm]\cap[/mm] Y = [mm]\emptyset[/mm] , was es ja laut
> Aufgabenstellung nicht sein darf.
>  
>
> /Edit: Gerade ist mir aufgefallen: Meinst du mit ]a,b[ das
> offene Intervall, also (a,b) ? Wenn ja dann müsste man
> noch das Geschnitten drehen zu vereinigt. Also:
>  X:= (1,2) [mm]\cup[/mm] [3,4]
>  Y:= (1,2) [mm]\cup[/mm] [5,6]
>  Dann wäre X [mm]\cap[/mm] Y = (1,2) , sup(X [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Y)=2 und max{X

> [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Y} [mm]\not=[/mm] 2

das letzte solltest Du so nicht schreiben, sondern

    [mm] $\max(X \cap [/mm] Y)$ existiert nicht

kannst Du aussagen!

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Naive Mengenlehre"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]