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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Superposition
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Superposition: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:56 Fr 03.01.2020
Autor: loshombres

Aufgabe
Definition für Superpostionsprinzip für partielle differential gleichung

Hi leuts,

ich finde keine Anständige Literatur,in der das Superpositionsprinzip für partielle differential gleichung definiert und bewiesen wird. Ich brauche das für die eindimensionale Wellegngleichung könnt ihr mir helfen? bitte..

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Superposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:31 Sa 04.01.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

also erstmal gilt das Superpostionsprinzip nur für lineare homogene Gleichungen.
Dann: Was hat dich abgehaltel selbst mal bei []Wikipedia nachzuschlagen? Dort findest du die Definition, der Beweis ergibt sich trivial durch Nachrechnen.

Wo ist also dein konkretes Problem?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Superposition: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Sa 04.01.2020
Autor: loshombres

Also ich hab mir das jetzt ausgedacht

Seien [mm] $y_1,\ldots,y_n$ [/mm] Lösungen einer homogenen Dgl $y$.Dann ist die Summe dieser [mm] $y_1,..,y_n$ [/mm] auch eine Lösung der Dgl $y$,d.h.

[mm] $y=\sum_{i=1}^{n} c_iy_i$ [/mm] ,dabei sind [mm] $c_i$ [/mm] konstanten,für alle [mm] $i=1,\ldots [/mm] n$

Beweis: Betrachtet man eine homogene lineare DGL zweiter Ordnung,dann sind ihre Lösungen mit

[mm] $a_2y''_n+a_1y'_n+a_0y_n=0$ [/mm]
[mm] $a_2y''_{n-1}+a_1y'_{n-1}+a_0y_{n-1}=0$ [/mm]
[mm] \vdots [/mm]
[mm] $a_2y''_{1}+a_1y'_{1}+a_0y_{1}=0$ [/mm]

da die [mm] c_i [/mm] konstant sind kann man dies auch so schreiben(kann man das so sagen/argumentieren?)

[mm] $c_n\left(a_2y''_n+a_1y'_n+a_0y_n\right)=0$ [/mm]
[mm] $c_{n-1}\left(a_2y''_{n-1}+a_1y'_{n-1}+a_0y_{n-1}\right)=0$ [/mm]
[mm] \vdots [/mm]
[mm] $c_1\left(a_2y''_{1}+a_1y'_{1}+a_0y_{1}\right)=0$ [/mm]

daraus ergibt sich
[mm] a_2\left(c_ny''_n+c_{n-1}y''_{n-1}+\ldots+c_1y''_{1}\right)+a_1\left(c_ny'_n+c_{n-1}y'_{n-1}+\ldots+c_1y'_{1}\right)+a_0\left(c_ny_n+c_{n-1}y_{n-1}+\ldots+c_1y_{1}\right)=0 [/mm]
zieht man die ableitungen raus

[mm] a_2\frac{d^2}{dy}\left(c_ny_n+c_{n-1}y_{n-1}+\ldots+c_1y_{1}\right)+a_1\frac{d}{dy}\left(c_ny_n+c_{n-1}y_{n-1}+\ldots+c_1y_{1}\right)+a_0\left(c_ny_n+c_{n-1}y_{n-1}+\ldots+c_1y_{1}\right)=0 [/mm]

Daraus resultiert die obige aussagen.

kann ich das so machen?

Bezug
                        
Bezug
Superposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:21 Sa 04.01.2020
Autor: fred97


> Also ich hab mir das jetzt ausgedacht
>  
> Seien [mm]y_1,\ldots,y_n[/mm] Lösungen einer homogenen Dgl [mm]y[/mm].Dann
> ist die Summe dieser [mm]y_1,..,y_n[/mm] auch eine Lösung der Dgl
> [mm]y[/mm],d.h.
>  
> [mm]y=\sum_{i=1}^{n} c_iy_i[/mm] ,dabei sind [mm]c_i[/mm] konstanten,für
> alle [mm]i=1,\ldots n[/mm]
>  
> Beweis: Betrachtet man eine homogene lineare DGL zweiter
> Ordnung,dann sind ihre Lösungen mit
>
> [mm]a_2y''_n+a_1y'_n+a_0y_n=0[/mm]
>  [mm]a_2y''_{n-1}+a_1y'_{n-1}+a_0y_{n-1}=0[/mm]
>  [mm]\vdots[/mm]
>  [mm]a_2y''_{1}+a_1y'_{1}+a_0y_{1}=0[/mm]
>  
> da die [mm]c_i[/mm] konstant sind kann man dies auch so
> schreiben(kann man das so sagen/argumentieren?)
>  
> [mm]c_n\left(a_2y''_n+a_1y'_n+a_0y_n\right)=0[/mm]
>  [mm]c_{n-1}\left(a_2y''_{n-1}+a_1y'_{n-1}+a_0y_{n-1}\right)=0[/mm]
>  [mm]\vdots[/mm]
>  [mm]c_1\left(a_2y''_{1}+a_1y'_{1}+a_0y_{1}\right)=0[/mm]
>  
> daraus ergibt sich
>  
> [mm]a_2\left(c_ny''_n+c_{n-1}y''_{n-1}+\ldots+c_1y''_{1}\right)+a_1\left(c_ny'_n+c_{n-1}y'_{n-1}+\ldots+c_1y'_{1}\right)+a_0\left(c_ny_n+c_{n-1}y_{n-1}+\ldots+c_1y_{1}\right)=0[/mm]
>  zieht man die ableitungen raus
>  
> [mm]a_2\frac{d^2}{dy}\left(c_ny_n+c_{n-1}y_{n-1}+\ldots+c_1y_{1}\right)+a_1\frac{d}{dy}\left(c_ny_n+c_{n-1}y_{n-1}+\ldots+c_1y_{1}\right)+a_0\left(c_ny_n+c_{n-1}y_{n-1}+\ldots+c_1y_{1}\right)=0[/mm]
>  
> Daraus resultiert die obige aussagen.
>  
> kann ich das so machen?

ja, das  kannst du  so machen.  Es hätte  genügt allerdings den fall n=2 zu betrachten,  warum?


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