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| Aufgabe 1 | | Berechnen Sie: [mm] \summe_{i=1}^{9} \vektor{10 \\ i-1} [/mm] |
| Aufgabe 2 | [mm] \summe_{i=1}^{N} \vektor{N \\ i} 5^{i}(-3)^{N-i}
[/mm]
vereinfachen sie |
| Aufgabe 3 | [mm] \summe_{i=0}^{N-1} \vektor{N \\ i} [/mm] = 511
bestimmen sie [mm] N\in \IN [/mm] so dass oben gleich 511 ist |
Hey, ich hab gerade angefangen zu studieren (Bio) und hab jetzt so eine Aufgabe bekommen. normalerweise bin ich sehr gut in Mathe, aber das Summenzeichen hatten wir nie und auch das 10 über bla bla bla hatten wir im Abi nur kurz angeschnitten. deswegen bin ich ein bisschen hilflos und weiß nicht wie ich das rechnen soll
Bitte helft mir!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Mi 22.10.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo BiologinS,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hey, ich hab gerade angefangen zu studieren (Bio) und hab
> jetzt so eine Aufgabe bekommen. normalerweise bin ich sehr
> gut in Mathe, aber das Summenzeichen hatten wir nie und
> auch das 10 über bla bla bla hatten wir im Abi nur kurz
> angeschnitten. deswegen bin ich ein bisschen hilflos und
> weiß nicht wie ich das rechnen soll
> Bitte helft mir!
Die Notation mit dem Summenzeichen ist eine Abkürzung.
Beispiel: [mm]\sum_{i=1}^{10} i= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10[/mm]
i nennt man Laufvariable, weil sie hier die Werte von 1 bis 10 durchläuft. Die rechte Seite kommt so zustande: zunächst wird [mm]i=1[/mm] in den Term nach dem Summenzeichen eingesetzt (im Beispiel steht da nur i), also notieren mal eine 1.
Dann wird [mm]i=2[/mm] eingesetzt und zur 1 addiert.
Das macht man solange, wie über dem Summenzeichen angegeben, hier: bis [mm]i=10[/mm].
Das "10 über bla" heißt ![[]](/images/popup.gif) Binomialkoeffizient und steht für eine natürliche Zahl, die man so berechnen kann: [mm]\binom n k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}[/mm].
Dabei steht [mm]n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot (n-1)\cdot n[/mm] für Multiplikation aller natürlicher Zahlen bis einschließlich n.
Dann mal zu den Aufgaben.
> Berechnen Sie: [mm]\summe_{i=1}^{9} \vektor{10 \\ i-1}[/mm]
[mm]\sum_{i=1}^{9}\binom{10}{i-1}=\binom{10}{0}+\binom{10}{1}+\binom{10}{2}+\binom{10}{3}+\binom{10}{4}+\binom{10}{5}+\binom{10}{6}+\binom{10}{7}+\binom{10}{8}[/mm]
>[mm]\summe_{i=1}^{N} \vektor{N \\ i} 5^{i}(-3)^{N-i}[/mm]
>
> vereinfachen sie
Kann es sein, das da [mm]\sum_{i=0}^N \binom Ni\cdot 5^i\cdot (-3)^{N-i}[/mm]? Dazu solltest du mal den binomischen Lehrsatz nachschlagen.
> [mm]\summe_{i=0}^{N-1} \vektor{N \\ i}[/mm]= 511
>
> bestimmen sie so dass oben gleich 511 ist
Auch hier kann der binomische Lehrsatz helfen.
Die Summe passt zwar noch nicht ganz zu diesem Satz, aber wir können ein bisschen tricksen:
[mm]\sum_{i=0}^{N-1} \binom Ni=\sum_{i=0}^{N} \binom Ni -\binom{N}{N}=\sum_{i=0}^{N} \binom Ni-1=511[/mm]
bzw.
[mm]\sum_{i=0}^{N} \binom Ni=512 =2^9[/mm]
Schau jetzt mal an, was passiert, wenn du beim binomischen Lehrsatz $a=b=1$ (oder $x=y=1$, je nach Notation) setzt.
Lieben Gruß,
Fulla
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Danke für deine schnelle Antwort, die erste Aufgabe hab ich sogar soweit hinbekommen, durch googlen und nachschlagen, kann es sein das die Zahl die dabei rauzskommt allerdings riesig ist?
Bei den zwei anderen Aufgaben hänge ich noch ein wenig, da ich mich auch gar nicht mit dem binomischen Lehrsatz auskenne.
Kannst du mir vielleicht erklären für was nun das große N steht? Und wie kann ich (3.Aufgabe) wenn ich nur N`s und i`s hab auf eine Zahl wie 511 kommen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Mi 22.10.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal!
> Danke für deine schnelle Antwort, die erste Aufgabe hab
> ich sogar soweit hinbekommen, durch googlen und
> nachschlagen, kann es sein das die Zahl die dabei
> rauzskommt allerdings riesig ist?
1013 ist jetzt nicht soooo riesig... Die Binomialkoeffizienten kann zur Not auch der Taschenrechner ausrechnen, die Funktion heißt bei den meisten Modellen nCr. Wenn ich bei meinem TR beispielsweise [mm]\binom{10}{4}[/mm] berechnen will, muss ich "10 nCr 4" eingeben.
> Bei den zwei anderen Aufgaben hänge ich noch ein wenig,
> da ich mich auch gar nicht mit dem binomischen Lehrsatz
> auskenne.
Der Satz besagt [mm](a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk a^k b^{n-k}[/mm]. Hattet ihr den schon, bzw. darfst du das verwenden?
> Kannst du mir vielleicht erklären für was nun das große
> N steht? Und wie kann ich (3.Aufgabe) wenn ich nur N's und
> i's hab auf eine Zahl wie 511 kommen?
Ich schreib den bin. Lehrsatz nochmal mit anderen Variablen hin: [mm](a+b)^N=\sum_{i=0}^N a^i b^{N-i}[/mm]
In dem Zusammenhang ist das N die Potenz des Binoms ( [mm]a+b[/mm] ). Allgemein ist die feste natürliche Zahl, bis zu der summiert wird.
(Im Gegensatz dazu ändert sich die Laufvariable i bei jedem Summanden.)
Zur 3. Aufgabe:
Grundsätzlich: An den i's kannst du nichts drehen. i läuft eben von 0 bis N. Das einzige, woran du basteln kannst ist also das N. Je größer N, desto länger läuft die Summe.
Setze im bin. LS [mm]a=b=1[/mm]:
[mm](1+1)^N=\sum_{i=0}^N \binom Ni 1^i\cdot 1^{N-1}=\sum_{i=0}^N \binom Ni [/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Mi 22.10.2014 | | Autor: | BiologinS |
Dann hab ich wohl was falsch gerechnet, denn meine Zahl ist um einiges höher. Wir haben keinen GTR und dürfen anscheinend auch keinen benutzen.
Die Formel hatte ich auch noch nicht, vielleicht kommt sie ja noch.
Danke trotzdem :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Mi 22.10.2014 | | Autor: | abakus |
Hallo,
die Binomialkoeffizienten sind die Zahlen aus dem Pascalschen Dreieck.
Dieses ist so grundsätzlich für das Verständnis der binomischen Satzes und für die Berechnung von Anordnungsmöglichkeiten, dass man das einfach im Schulunterricht bringen MUSS (auch wenn es vieleicht nicht (mehr) zwangsweise im Lehrplan steht. Manche Lehrer lassen es weg - traurig für die betroffenen Schüler.
Siehe hier:
http://www.michael-holzapfel.de/themen/pascaldreieck/pascaldreieck.htm
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Mi 22.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dann hab ich wohl was falsch gerechnet, denn meine Zahl ist
> um einiges höher. Wir haben keinen GTR und dürfen
> anscheinend auch keinen benutzen.
> Die Formel hatte ich auch noch nicht, vielleicht kommt sie
> ja noch.
http://math-www.upb.de/MatheI_02/vorl/woche_4.pdf
Noch zwei Hinweise zum Binomialkoeffizient, denn zwei Formeln sind
da sehr wichtig:
1:
${n [mm] \choose k}=\frac{\produkt_{r=1}^n r}{\produkt_{r=1}^{n-k}r*\produkt_{s=1}^k s}=\frac{\produkt_{r=1}^{k}(n+1-r)}{k!}$
[/mm]
Das sieht jetzt vielleicht etwas "kryptisch" aus, bedeutet aber folgendes:
Du kannst ${n [mm] \choose [/mm] k}$ so ausrechnen, indem Du
im Zähler aus den letzten k Zahlen, mit n beginnend, ein Produkt bildest
und dann in den Nenner k! schreibst.
Beispiel:
${10 [mm] \choose 3}=\frac{\overbrace{10*9*8}^{\text{3 Zahlen, die erste ist 10}}}{3!}$
[/mm]
2: Symmetrie des Binomialkoeffizienten:
${n [mm] \choose [/mm] k}={n [mm] \choose [/mm] n-k}$
Warum ist das wichtig? Schauen wir uns
${10 [mm] \choose [/mm] 7}$
an: Wenn wir das wie in 1 rechnen:
${10 [mm] \choose 7}=\frac{10*9*8*7*6*5*4}{7!}$ [/mm] (beachte auch: 4=10-7+1)
Nach dem gerade Gelernten gilt aber auch
${10 [mm] \choose [/mm] 7}={10 [mm] \choose [/mm] 10-7}={10 [mm] \choose [/mm] 3}$
Mit obigem:
Anstatt
${10 [mm] \choose 7}=\frac{10*9*8*7*6*5*4}{7!}$
[/mm]
können wir einfach
${10 [mm] \choose [/mm] 7}={10 [mm] \choose 3}=\frac{\overbrace{10*9*8}^{\text{3 Zahlen, die erste ist 10}}}{3!}$
[/mm]
Und damit Du Dir wirklich mal diese Nützlichkeit klarer machen kannst:
Wie würdest Du nun
${450 [mm] \choose [/mm] 430}$
*günstig* berechnen?
Gruß,
Marcel
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