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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Fr 24.10.2008 | | Autor: | yildi |
| Aufgabe | Zeigen Sie dass gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{2^{k}} = \bruch{2}{3} [/mm] |
Hallo!
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Das ist bereits die zweite, die ich in dieser Art lösen soll. Die erste habe ich hinbekommen, weil ich sie auf die Form [mm]x^{k}[/mm] innerhalb des Summenzeichens bringen konnte und die Formel für geometrische Reihen anwenden konnte.
Dieses Ausdruck konnte ich bislang nur umformen zu:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} * (2k)^{-1} [/mm]
Hat jemand eine Idee, wie ich weiterkomme? :)
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hier kannst du doch auch umwandeln!
[mm] \bruch{(-1)^k}{2^k}=(-\bruch{1}{2})^k
[/mm]
Die dazugehörigen Folgenglieder wären ja dann [mm] a_n=(\red{1};-\bruch{1}{2}; \bruch{1}{4}; -\bruch{1}{8}; [/mm] ...; [mm] 1*(-\bruch{1}{2})^{n-1}).
[/mm]
Der Summenwert sollte allerdings [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] sein!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Hallo Teufel,
> Der Summenwert sollte allerdings [mm]-\bruch{1}{3}[/mm] sein! ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Edit: Du hast den Summanden für $n=0$, also [mm] $\left(-\frac{1}{2}\right)^0=1$ [/mm] unterschlagen in deiner Darstellung
Das ist doch ne lupenreine geometrische Reihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^k=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$
[/mm]
> Teufel
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ach klar, habe das k=0 für ein k=1 gehalten ;) na dann muss man natürlich noch 1 addieren und kommt auf die [mm] \bruch{2}{3}.
[/mm]
Hast natürlich Recht!
Teufel
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