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Forum "Induktionsbeweise" - Summenformeln
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Summenformeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:28 Di 10.05.2016
Autor: oculus

Es gilt für Summen
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k = 1/2*n + [mm] 1/2*n^2 [/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n} k^2 [/mm] = [mm] 1/6*n+1/2*n^2+1/3*n^3 [/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n} k^3 [/mm] = [mm] 1/4*n^2+1/2*n^3+1/4*n^4 [/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n} k^4 [/mm] = [mm] -1/30*n+1/3*n^3+1/2*n^2+1/5*n^5 [/mm]
Also wird nach meiner „unvollständigen“ Induktion ja auch für bel. natürliches m
wohl gelten müssen:
[mm] \summe_{k=0}^{n} k^m [/mm] = [mm] b_0 [/mm] + [mm] b_1*n [/mm] + [mm] ….(b_m)*n^m [/mm] + 1/(m+1)* n^(m+1).
Wer kennt einen Beweis für diese Vermutung?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Summenformeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:00 Di 10.05.2016
Autor: DieAcht

Hallo oculus!

[willkommenmr]


> Es gilt für Summen
> [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] k = 1/2*n + [mm]1/2*n^2[/mm]
> [mm]\summe_{k=0}^{n} k^2[/mm] = [mm]1/6*n+1/2*n^2+1/3*n^3[/mm]
> [mm]\summe_{k=0}^{n} k^3[/mm] = [mm]1/4*n^2+1/2*n^3+1/4*n^4[/mm]
> [mm]\summe_{k=0}^{n} k^4[/mm] = [mm]-1/30*n+1/3*n^3+1/2*n^2+1/5*n^5[/mm]

Richtig.

> Also wird nach meiner „unvollständigen“ Induktion ja
> auch für bel. natürliches m
> wohl gelten müssen:
> [mm]\summe_{k=0}^{n} k^m[/mm] = [mm]b_0[/mm] + [mm]b_1*n[/mm] + [mm]….(b_m)*n^m[/mm] +
> 1/(m+1)* n^(m+1).

Ja, aber im Allgemeinen wissen wir weiterhin nicht viel über [mm] $b_0,\ldots,b_m$. [/mm]

(Beachte: Die [mm] $b_0,\ldots,b_m$ [/mm] sind nicht immer [mm] $\not=0$. [/mm] Für [mm] $m=3\$ [/mm] ist bspw. [mm] $b_0=b_1=0$.) [/mm]

> Wer kennt einen Beweis für diese Vermutung?

[]Faulhabersche Formel.


Gruß
DieAcht
Bezug
                
Bezug
Summenformeln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:16 Mi 11.05.2016
Autor: oculus

Die Frage habe ich im Forum für Schulmathematik gestellt. Die Formel von Faulhaber geht ist aber doch wohl mehr in der Hochschul-Mathe angesiedelt.
Aber Danke für den Hinweis!
Bezug
        
Bezug
Summenformeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:43 Di 10.05.2016
Autor: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]

Dann schau evtl auch mal bei []Arndt Brünner vorbei, dort ist die Herleitung der Summenformeln erklärt.

Marius
Bezug
                
Bezug
Summenformeln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:29 Mi 11.05.2016
Autor: oculus

Danke für den Hinweis.

Der Beweis bei Arndt Brünner ist gut nachvollziehbar, da er indirekt die "Verwandtschaft" seiner Herleitung mit dem  [mm] \integral_{a}^{b} x^k [/mm] dx = 1/k*x^(k+1) nutzt.

oculus


Bezug
                        
Bezug
Summenformeln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:37 Mi 11.05.2016
Autor: oculus

Sorry, natürlich muss es heißen
[mm] \integral_{0}^{x}{t^k} [/mm] dt = 1/(k+1)*x^(k+1)
Bezug
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