Summenformel mit einem Term ad < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Parkan |
Hallo
In meinem Iduktionsschritt habe ich jetzt folgendens stehe wo ich nid weiter weis.
[mm]\summe_{i=1}^{n} (2n-1)^2 + (2(n+1)+1)^2[/mm]
Nun ich weis jetzt nicht wie ich das addieren soll. Der Beweis stimmt wenn ich am ende
[mm][/mm][mm]\summe_{i=1}^{n+1} (2(n+1)-1)^2[/mm]
habe.
Wenn mir jemand Helfen könnte wäre ich sehr dankbar.
Gruß
Janina
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Hallo Janina,
> In meinem Iduktionsschritt habe ich jetzt folgendens stehe
> wo ich nid weiter weis.
[mm] \mbox{nid}\to\mbox{nicht}, \mbox{weis}\to\mbox{weiß.}
[/mm]
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (2n-1)^2 + (2(n+1)+1)^2[/mm]
> Nun ich weis
> jetzt nicht wie ich das addieren soll. Der Beweis stimmt
> wenn ich am ende
> [mm][/mm][mm]\summe_{i=1}^{n+1} (2(n+1)-1)^2[/mm]
> habe.
Das sieht nicht plausibel aus. Meinst Du vielleicht dies:
[mm] $\summe_{i=1}^{n} (2\blue{i}-1)^2 [/mm] + [mm] (2(\blue{i}+1)+1)^2$
[/mm]
und [mm] $\summe_{i=1}^{n+1} (2(\blue{i}+1)-1)^2$ [/mm] ???
Vielleicht wäre es leichter, wenn Du die ganze Rechnung zeigst. Aber es geht auch so.
Außer den ersten beiden binomischen Formeln  brauchst Du zwei Summenformeln:
1) $ [mm] \summe_{k=1}^m{k}=\bruch{m(m+1)}{2} [/mm] $
2) $ [mm] \summe_{k=1}^m{k^2}=\bruch{m(m+1)(2m+1)}{6} [/mm] $
Achte darauf, dass Deine beiden Summen nicht "gleich weit laufen".
> Wenn mir jemand Helfen könnte wäre ich sehr dankbar.
Tja, das hoffe ich mal. Mir ist das viel zu viel zu rechnen...
Aber schau doch mal nach, ob es mit den beiden Änderungen und den Tipps stimmt.
Wenn nicht, brauchen wir die ganze Aufgabe samt der Rechnung, die Dich zu dieser Frage hier geführt hat. Dann liegt der Fehler nämlich früher.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Parkan |
| Aufgabe | Finden und beweisen Sie eine Summenformel für
[mm]1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2 [/mm] wobei n>0 |
Meine Induktionsbehauptung ist
[mm]1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2 + (2(n+1)-1)^2 = \summe_{i=1}^{n+1} (2(n+1)-1)^2[/mm]
Induktionsschritt
[mm]\summe_{i=1}^{n} (2n-1)^2 + (2(n+1)+1)^2[/mm]=
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Mi 27.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Finden und beweisen Sie eine Summenformel für
>
> [mm]1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2 [/mm] wobei n>0
>
> Meine Induktionsbehauptung ist
> [mm]1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2 + (2(n+1)-1)^2 = \summe_{i=1}^{n+1} (2(n+1)-1)^2[/mm]
Hallo,
du hast hier nichts weiter gemacht, als die Summe unter Verwendung des Summenzeichens in einer knapperen Form aufzuschreiben.
Die (später zu beweisende) Summenformel selbst hast du ja noch nicht einmal gefunden.
Versuchen wir es mal:
[mm] s_1=1^2=1
[/mm]
[mm] s_2=1^2+3^2=10
[/mm]
[mm] s_3=1^2+3^2+5^2=35
[/mm]
[mm] s_4=1^2+3^2+5^2+7^2=84
[/mm]
[mm] s_5=1^2+3^2+5^2+7^2+9^2=165
[/mm]
Ich stelle fest:
[mm] s_2 [/mm] ist durch 5 teilbar.
[mm] s_3 [/mm] ist durch 7 teilbar.
[mm] s_4 [/mm] ist leider nicht durch 9 teilbar, sondern nur durch 3
[mm] s_5 [/mm] ist durch 11 teilbar.
Damit man auch in [mm] s_4 [/mm] einen Faktor 9 hat, würde ich mal sämtliche Werte mit 3 erweitern:
[mm] s_1=\bruch{3}{3}=\bruch{3*1}{3}
[/mm]
[mm] s_2=\bruch{30}{3}=\bruch{5*6}{3}
[/mm]
[mm] s_3=\bruch{105}{3}=\bruch{7*15}{3}
[/mm]
[mm] s_4=\bruch{252}{3}=\bruch{9*28}{3}
[/mm]
[mm] s_5=\bruch{495}{3}=\bruch{11*45}{3}
[/mm]
Nun gilt für den jeweils zweiten Faktor (von hinten herein)
45=5*9
28=4*7
15=3*5
6=2*3
1=1*1
Somit haben wir eine Regelmäßigkeit gefunden, die du in eine Formel fassen kannst. Diese ist dann zu beweisen.
Gruß Abakus
>
> Induktionsschritt
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (2n-1)^2 + (2(n+1)+1)^2[/mm]=
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Parkan |
Danke das hat mir weiter geholfen.
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Hallo zusammen,
macht euch keinen Stress bei dieser Puppiaufgabe
Es ist [mm]1^2+3^2+\ldots+(2n-1)^2=\sum\limits_{k=1}^{n}(2k-1)^2[/mm]
Das so zu schreiben, ist genau die goldene Idee, mit der man ohne Überlegung und Induktion auf Bekanntes zurückgreifen kann.
Rechterhand die binom. Formel angewandt:
[mm]\ldots=\sum\limits_{k=1}^n(4k^2-4k+1)=\left( \ 4\cdot{}\sum\limits_{k=1}^nk^2 \ \right) \ - \left( \ 4\sum\limits_{k=1}^nk \ \right) \ + \ \sum\limits_{k=1}^n1[/mm]
Und ich wette, dass ihr eine Formel für die ersten n natürlichen und die ersten n Quadratzahlen hattet ...
Damit ist doch eine Formel für die Summe der ungeraden Quadratzahlen in Windeseile und ohne Mühe bestimmt ..
Gruß
schachuzipus
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