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| Aufgabe | | Berechnen Sie eine Summenformel für [mm] \sum_{k=0}^{n} [/mm] cos(kz) , [mm] z\in\IZ. [/mm] Hinweis: Betrachten Sie die Reihe [mm] \sum_{k=0}^{n} e^i^k^z [/mm] und zerlegen sie diese in Imaginär und Realteil. |
Hallo,
mein Hauptsächliches Problem bei der Aufgabe ist, dass ich nicht wirklich weiß, worauf ich hin arbeiten soll, bzw. wie die Lösung aussehen soll.
Ich weiß, dass [mm] \cos [/mm] z := [mm] \bruch{e^i^z + e^-^i^z}{2} [/mm] also in unserem Fall [mm] \cos [/mm] kz := [mm] \bruch{e^i^k^z + e^-^i^k^z}{2}
[/mm]
Das würde als Summe bedeuten
[mm] \sum_{k=0}^{n} [/mm] cos(kz) = [mm] \bruch{1}{2}\sum_{k=0}^{n} e^i^k^z [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\sum_{k=0}^{n} e^-^i^k^z
[/mm]
Und ich weiß, dass [mm] e^i^z [/mm] = [mm] \cos [/mm] z + i [mm] \sin [/mm] z also in unserem Fall [mm] e^i^k^z [/mm] = [mm] \cos [/mm] kz + i [mm] \sin [/mm] kz.
Wie muss ich nun aber weiter machen um eine Summenformel für [mm] \sum_{k=0}^{n} [/mm] cos(kz) , [mm] z\in\IZ [/mm] zu berechnen?
Danke im Voraus!
Mfg Canonforever1
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
du hast ja bereits einen Hinweis. Wieso gehst du nicht den Weg des Hinweises?
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Ich frage mich wieso ich die Reihe [mm] \sum_{k=0}^{n} e^i^k^z [/mm] einzeln betrachten kann und nicht noch [mm] \sum_{k=0}^{n} e^-^i^k^z [/mm] betrachten muss bzw das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ?
LG
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> Ich frage mich wieso ich die Reihe [mm]\sum_{k=0}^{n} e^i^k^z[/mm]
> einzeln betrachten kann und nicht noch [mm]\sum_{k=0}^{n} e^-^i^k^z[/mm]
> betrachten muss bzw das [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ?
>
> LG
Das geht in dem du Real-und Imaginärteil der Summe betrachtest.
Was ist denn $ [mm] Re(\sum_{k=0}^n e^{ikz})$ [/mm] ?
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Der Realteil von [mm] \sum_{k=0}^{n} e^i^k^z [/mm] müsste doch [mm] \cos [/mm] kz sein oder?
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Und wo ist die Summe hin?
Bist du dir eigentlich bei der Aufgabenstellung ganz sicher?
Kommt da eventuell irgendwo ein [mm] $\pi$ [/mm] oder ein Bruch vor?
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Wenn ich die Summe dazu schreibe wäre ich ja wieder bei meiner Anfangssumme [mm] \sum_{k=0}^{n} [/mm] cos kz
Nein Also die Aufgabenstellung stimmt mir ist nur grad bei meinen Notizen aufgefallen dass es nicht [mm] z\in\IC [/mm] sondern [mm] z\in\IR [/mm] ist.
Würde das was ändern?
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> Wenn ich die Summe dazu schreibe wäre ich ja wieder bei
> meiner Anfangssumme [mm]\sum_{k=0}^{n}[/mm] cos kz
Und das ist schlimm weil?
Nichtsdestotrotz ist das keinerlei Begründung für die Berechnung des Realteils.
Also nochmal: Was ist der Realteil und warum?
> Nein Also die Aufgabenstellung stimmt mir ist nur grad bei
> meinen Notizen aufgefallen dass es nicht [mm]z\in\IC[/mm] sondern
> [mm]z\in\IR[/mm] ist.
>
> Würde das was ändern?
Im Eingangspost stand noch $z [mm] \in \mathbb [/mm] Z$.
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Ohh ups da habe ich mich bei dem Eingangspost wohl verschrieben und es nicht gemerkt. Auf jeden Fall gilt [mm] z\in\IR.
[/mm]
Also wenn ich [mm] \sum_{k=0}^{n} e^i^z^k [/mm] umschreibe erhalte ich
[mm] \sum_{k=0}^{n} [/mm] cos(kz) + i sin(kz) , weswegen doch [mm] \sum_{k=0}^{n} [/mm] cos(kz) der Realteil wäre oder?
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Jetzt ist der Realteil richig, und hoffentlich auch klar warum der Hinweis nützlich ist.
$ [mm] \sum_{k=0}^{n} e^i^z^k [/mm] $ ist eine geometrische Summe.
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Die geometrische Summe ist ja [mm] \sum_{k=0}^{n} q^k [/mm] = [mm] \bruch{1-q^n^+^1}{1-q}
[/mm]
Man kann ja
[mm] \sum_{k=0}^{n} (e^i^z)^k [/mm] schreiben, woraus folgen würde, dass
[mm] \sum_{k=0}^{n} [/mm] (cos z + i sin z [mm] )^k [/mm] und somit wäre dann der Realteil [mm] \sum_{k=0}^{n} [/mm] (cos z [mm] )^k
[/mm]
Somit wäre die Summe dann [mm] \sum_{k=0}^{n} [/mm] (cos [mm] z)^k [/mm] = [mm] \bruch{1-(cos z)^n^+^1}{1-(cos z)}
[/mm]
Stimmt das soweit?
LG
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> Die geometrische Summe ist ja [mm]\sum_{k=0}^{n} q^k[/mm] =
> [mm]\bruch{1-q^n^+^1}{1-q}[/mm]
>
> Man kann ja
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n} (e^i^z)^k[/mm] schreiben, woraus folgen würde,
> dass
Bis hierhin ist es richtig.
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n}[/mm] (cos z + i sin z [mm])^k[/mm] und somit wäre dann
und das ist dann schlicht falsch:
> der Realteil [mm]\sum_{k=0}^{n}[/mm] (cos z [mm])^k[/mm]
>
>
> Somit wäre die Summe dann [mm]\sum_{k=0}^{n}[/mm] (cos [mm]z)^k[/mm] =
> [mm]\bruch{1-(cos z)^n^+^1}{1-(cos z)}[/mm]
Der Ausdruck ist für etliche z undefiniert.
>
> Stimmt das soweit?
>
> LG
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Und wie wäre es richtig gestellt?
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Wie ich bereits schrieb:
>$ [mm] \sum_{k=0}^{n} e^i^z^k [/mm] $ ist eine geometrische Summe.
Rechne sie aus.
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Also muss ich das komplette [mm] \bruch{1}{2} \sum_{k=0}^{n} e^i^k^z [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^{n} e^-^i^k^z [/mm] in die Geometrische Reihe einsetzen?
Oder langt es [mm] \sum_{k=0}^{n} e^i^z^k [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n} (e^i^z)^k= \bruch{(e^i^z)^n^+^1 -1}{e^i^z -1}-1 [/mm] = [mm] \bruch{e^i^z^(^n^+^1^)-e^i^z}{e^i^z -1} [/mm] = [mm] e^i^z \bruch{e^i^n^z -1}{e^i^z -1} [/mm] zu setzen?
Dann wäre ja aber kein Unterschied zum Sinus...
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Hallo Canonforever,
> Also muss ich das komplette [mm]\bruch{1}{2} \sum_{k=0}^{n} e^i^k^z[/mm]
> + [mm]\sum_{k=0}^{n} e^-^i^k^z[/mm] in die Geometrische Reihe
> einsetzen?
Nein.
Mensch, befolge doch endlich mal den Tipp.
So schwierig ist es doch nicht, diese eine geometrische Reihe zu berechnen.
> Oder langt es [mm]\sum_{k=0}^{n} e^i^z^k[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^{n} (e^i^z)^k= \bruch{(e^i^z)^n^+^1 -1}{e^i^z -1}-1[/mm]
> = [mm]\bruch{e^i^z^(^n^+^1^)-e^i^z}{e^i^z -1}[/mm] = [mm]e^i^z \bruch{e^i^n^z -1}{e^i^z -1}[/mm]
> zu setzen?
Nein.
> Dann wäre ja aber kein Unterschied zum Sinus...
Eben.
Da Du offenbar mit dem Nachdenken darüber, ob es wohl funktionieren kann, wenn Du dem Hinweis folgst, nicht weiterkommst, solltest Du einfach mal dem Hinweis folgen. Dann kannst Du immer noch sehen, ob er nun nützlich war oder nicht.
So verplemperst Du mehr Zeit mit dem Vorausdenken und dem Räsonnieren über die allgemeine mathematische Erkenntnistheorie als mit dem Finden der Lösung.
Echt: einfach mal machen!
Grüße
reverend
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