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| Aufgabe | a)
Angenommen, Sie sollen die Summe der ersten tausend oder zehntausend oder hunderttausend oder ... natürlichen Zahlen ausrechnen. Statt mühsam zu addieren, sollte man eine allgemeine Summenformel
[mm] s_n=1+2+3+...+(n-1)+n=\summe_{k=1}^{n}k=?
[/mm]
für jede Zahl n von Summanden herleiten.
Um eine solche Formel zu finden, schreiben Sie beispielweise die Zahlenreihen in zwei Reihenfolgen untereinander:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Was fällt Ihnen auf und wie kann man weiter vorgehen, um die Summenformel zu finden?
b)
Eine Metallplatte soll durch gerade Schnitte in möglichst viele Teile zerlegt werden - wie viele Teile sind dabei maximal möglich? Die Frage soll allgemein, d.h. für jede Anzahl [mm] n\in\IN [/mm] von Schnitten, beantwortet werden.
Begründen Sie ihre Antwort, indem Sie darstellen, wie Sie darauf gekommen sind, beispielsweise durch Experimente für n=1,2,3,... Schnitte.
Wie lautet die Antwort, wenn eine Pizze anstelle der Metallplatte zerlegt werden soll? |
a)
Die Herleitung der Summenformel habe ich auf Wikipedia gefunden:
![[]](/images/popup.gif) Summenformel
Ich verstehe aber folgenden Sätze nicht:
"Die Summe der Spalten ergibt jeweils den Wert: n+1"
Müsste hier nicht Zeilen statt Spalten stehen?
"Da es n Spalten sind, ist die Summe der zahlen beider Zeilen gleich n*(n+1)."
Wie kommt man auf n*(n+1)?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> a)
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> Angenommen, Sie sollen die Summe der ersten tausend oder
> zehntausend oder hunderttausend oder ... natürlichen
> Zahlen ausrechnen. Statt mühsam zu addieren, sollte man
> eine allgemeine Summenformel
>
> [mm]s_n=1+2+3+...+(n-1)+n=\summe_{k=1}^{n}k=?[/mm]
>
> für jede Zahl n von Summanden herleiten.
> Um eine solche Formel zu finden, schreiben Sie
> beispielweise die Zahlenreihen in zwei Reihenfolgen
> untereinander:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Was fällt Ihnen auf und wie kann man weiter vorgehen, um
> die Summenformel zu finden?
Hallo,
wenn Du jeweils die beiden Zahlen in den Spalten addierst, bekommst Du immer n+1 heraus.
Und wieviele Spalten sind es? Es sind n Spalten.
Also hast Du n*(n+1).
Du weißt nun:
2*[1+2+3+...+(n-1)+n]=n*(n+1).
LG Angela
>
> b)
>
> Eine Metallplatte soll durch gerade Schnitte in möglichst
> viele Teile zerlegt werden - wie viele Teile sind dabei
> maximal möglich? Die Frage soll allgemein, d.h. für jede
> Anzahl [mm]n\in\IN[/mm] von Schnitten, beantwortet werden.
> Begründen Sie ihre Antwort, indem Sie darstellen, wie Sie
> darauf gekommen sind, beispielsweise durch Experimente für
> n=1,2,3,... Schnitte.
> Wie lautet die Antwort, wenn eine Pizze anstelle der
> Metallplatte zerlegt werden soll?
> a)
>
> Die Herleitung der Summenformel habe ich auf Wikipedia
> gefunden:
>
> Summenformel
>
> Ich verstehe aber folgenden Satz nicht:
>
> "Da es n Spalten sind, ist die Summe der zahlen beider
> Zeilen gleich n*(n+1)."
>
> Wie kommt man auf n*(n+1)?
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Hallo,
ich habe das noch nicht verstanden.
> wenn Du jeweils die beiden Zahlen in den Spalten addierst,
> bekommst Du immer n+1 heraus.
Was bedeutet jetzt dieses ergebnis? wieso addiert man die beiden Zahlen in den spalten? ich kann das nicht nachvollziehen
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ich habe das jetzt verstanden :D
ich gar nicht so einfach zu verstehen, wenn das so allgemein mit n erklärt wird.
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Hallo,
Du willst das Ergebnis von
1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n wissen.
Eine Möglichkeit, dieses zu erfahren, ist, auf geschickte Art das Doppelte dieser Summe zu berechnen,
also 2*[1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n ].
Jemand, der nicht so eine Dumpfbacke ist wie wir, hat sich das so überlegt:
2*[1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n ]=
[mm] $\vmat{&1&+2&+3&..&+(n-2)&+(n-1) & +n \\ + &n&+(n-1)&(n-2)&...&+3&+2&+1\\=&(n+1)&+(n+1)&+(n+1)&...&+(n+1)&+(n+1)&+(n+1)}$
[/mm]
=n*(n+1)
Fall Du es noch nicht kapiert hast, betrachte dies:
Du willst 1+2+3+4+5+6 berechnen.
Es ist
2*[1+2+3+4+5+6]
=1+2+3+4+5+6
+6+5+4+3+2+1
=7+7+7+7+7+7
=6*7
==> [mm] 1+2+3+4+5+6=\bruch{1}{2}*6*7.
[/mm]
LG Angela
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Hallo,
wenn man mit der Zahl 1 anfängt und die darauf foglenden Zahlen addiert, dann kann man die Summe mit der Summenformel n(n+1)/2 berechnen.
Was macht man, wenn man nicht mit der 1 anfängt? Zum beispiel will ich die Summe 70+71+..+120 berechnen.
Wie wendet man hier die Summenformel an?
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Hallo Rebellismus,
> wenn man mit der Zahl 1 anfängt und die darauf foglenden
> Zahlen addiert, dann kann man die Summe mit der
> Summenformel n(n+1)/2 berechnen.
>
> Was macht man, wenn man nicht mit der 1 anfängt? Zum
> beispiel will ich die Summe 70+71+..+120 berechnen.
>
> Wie wendet man hier die Summenformel an?
Du berechnest die Summe der ersten 120 Zahlen und ziehst die Summe der ersten 69 Zahlen ab.
Grüße
reverend
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Hallo,
meinst du so?
[mm] \bruch{120(120+1)}{2}-\bruch{69(69+1)}{2}
[/mm]
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Hallo Rebellismus.
Ich lese seine Gedanken ....
... ja, so meint er es!
Gruß,
Sandro
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Kann es sein das aufgabe b) nicht gut formuliert ist? Wie viele Teile ich bekomme hängt ja davon ab WIE ich schneide.
Siehe dazu folgendes Bild. Das schwarze Rechteck soll die Metallplatte und die roten Linien die Schnitte darstellen. bei der linken platte habe ich nach 2 schnitten 3 Teile und bei der rechten Platte habe ich nach 2 Schnitten 4 Teile.
Wie soll ich nun die Metallplatte schneiden?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Do 17.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Kann es sein das aufgabe b) nicht gut formuliert ist? Wie
> viele Teile ich bekomme hängt ja davon ab WIE ich
> schneide.
Du solltest genau lesen: in der Aufgabenstellung steht:
"Eine Metallplatte soll durch gerade Schnitte in möglichst viele Teile zerlegt werden - wie viele Teile sind dabei maximal möglich ?"
>
> Siehe dazu folgendes Bild. Das schwarze Rechteck soll die
> Metallplatte und die roten Linien die Schnitte darstellen.
> bei der linken platte habe ich nach 2 schnitten 3 Teile und
> bei der rechten Platte habe ich nach 2 Schnitten 4 Teile.
>
> Wie soll ich nun die Metallplatte schneiden?
Ich formuliere die Aufgabe mal so:
Wieviele Teile sind bei 2 Schnitten maximal möglich ?
Wieviele Teile sind bei 3 Schnitten maximal möglich ?
Wieviele Teile sind bei 4 Schnitten maximal möglich ?
etc. ..........
FRED
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
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> Ich formuliere die Aufgabe mal so:
>
> Wieviele Teile sind bei 2 Schnitten maximal möglich ?
4 teile
>
> Wieviele Teile sind bei 3 Schnitten maximal möglich ?
6 Teile
>
> Wieviele Teile sind bei 4 Schnitten maximal möglich ?
>
8 Teile
> etc. ..........
Die Teile erhöhen sich immer um 2 bzw. die Anzahl der teile entspricht der Anzahl der Schnitte multipliziert mit den faktor 2
Soll ich nun eine Formel aufstellen? ich hätte folgende Formel aufgestellt
t = Anzeil der Teile
s = Anzahl der Schnitte
[mm] \Rightarrow
[/mm]
t=2s
Bei der Pizza gilt dasselbe
Ist die Aufgabe damit gelöst ?
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Hallo nochmal,
nein, so einfach ist es nicht.
Hier z.B. mal eine Teilung mit 4 Schnitten und 11 Teilen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grüße
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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dann habe ich keinen ansatz wie man die aufgabe löst.
ich weiß nicht wie ich die metallplatte schneiden muss um immer die größtmögliche anzahl an teilen zu bekommen
ich bräuchte einen tipp
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Hallo,
> dann habe ich keinen ansatz wie man die aufgabe löst.
> ich weiß nicht wie ich die metallplatte schneiden muss um
> immer die größtmögliche anzahl an teilen zu bekommen
>
> ich bräuchte einen tipp
Mit 0 Schnitten hat man genau 1 Teil. 
Mit 1 Schnitt höchstens 2 (wenn der Schnitt die Platte trifft...),
mit 2 Schnitten höchstens 4.
Bis dahin ist es ja nicht spannend, schon weil die Möglichkeiten sehr übersichtlich sind.
Übrigens gelten diese Zahlen für jede konvexe Form, z.B. auch ein Dreieck, oder ein 279000-Eck.
Der 3. Schnitt kann nun verschieden gelegt werden, sicher aber auch so, dass er die beiden bisherigen Schnitte schneidet und so auch drei Flächen zerteilt. Also hat man mit 3 Schnitten bis zu 7 Teile.
Die Frage ist jetzt, ob man mit dem n-ten Schnitt immer alle (n-1) bisherigen Schnittlinien schneiden kann und dabei auch n Flächen zerteilt. Wenn ja, dann wären die Flächenzahlen diese:
0 Schnitte: 1 Teil
1 Schnitt : 2 Teile; 2=1+1=1+1
2 Schnitte: 4 Teile; 4=2+2=1+3
3 Schnitte: 7 Teile; 7=4+3=1+6
4 Schnitte: 11 Teile; 11=7+4=1+10
5 Schnitte: 16 Teile; 16=11+5)=1+15
etc.
Bei 22 Schnitten wären das also voraussichtlich 254 Teile.
Und zur Pizza: leg da mal eine rechteckige Platte drauf, die nirgendwo über den Rand ragt und unterteil die Platte (samt der Pizza) so wie oben. Wieviele Pizzateile hast Du dann?
Grüße
rev
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Hallo,
> 0 Schnitte: 1 Teil
> 1 Schnitt : 2 Teile;
> 2 Schnitte: 4 Teile;
> 3 Schnitte: 7 Teile;
> 4 Schnitte: 11 Teile;
> 5 Schnitte: 16 Teile;
> etc.
Ich soll hier jetzt eine gleichung aufstellen, die die Anzahl der teile in abhängigkeit der schnitte widergibt oder? ich habe durch probieren folgende Formel aufgestellt:
[mm] x=\bruch{n(n+1)}{2}+1
[/mm]
x = anzahl der Teile
n = anzahl der schnitte
habe ich die aufgabe damit gelöst?
bitte folgende frage beantworten:
ich habe die gleichung nur durch probieren aufgestellt. Woher weißt man das man hier die gaußsche Summenformel braucht?
ichhabe hier die gaußsche summenformel benutzt, weil in der vorherigen aufgabe die summenformel hergeleitet werden sollte. Ansonsten hätte ich an die gaußsche summenformel nicht gedacht.
> Und zur Pizza: leg da mal eine rechteckige Platte drauf,
> die nirgendwo über den Rand ragt und unterteil die Platte
> (samt der Pizza) so wie oben. Wieviele Pizzateile hast Du
> dann?
Ist die pizza rechteckig wie die platte? dann bekomme ich dieselbe anzahl an teilen wie bei der platte
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> Hallo,
>
>
> > 0 Schnitte: 1 Teil
> > 1 Schnitt : 2 Teile;
> > 2 Schnitte: 4 Teile;
> > 3 Schnitte: 7 Teile;
> > 4 Schnitte: 11 Teile;
> > 5 Schnitte: 16 Teile;
> > etc.
>
> Ich soll hier jetzt eine gleichung aufstellen, die die
> Anzahl der teile in abhängigkeit der schnitte widergibt
> oder? ich habe durch probieren folgende Formel
> aufgestellt:
>
> [mm]x=\bruch{n(n+1)}{2}+1[/mm]
Hallo,
schreib' hier lieber
[mm] x_n=\bruch{n(n+1)}{2}+1.
[/mm]
>
> n = anzahl der schnitte
[mm] x_n [/mm] = maximale Anzahl der Teile nach n Schnitten
>
> habe ich die aufgabe damit gelöst?
Nur zum Teil:
wie gefordert hast Du eine Formel gefunden,
die Begründung fehlt.
>
> bitte folgende frage beantworten:
>
> ich habe die gleichung nur durch probieren aufgestellt.
> Woher weißt man das man hier die gaußsche Summenformel
> braucht?
Man weiß es nicht sofort,
aber man bekommt es im Laufe seiner Bemühungen mit.
Wie hast Du denn probiert?
Mit des reverends Zahlen?
Wenn ja: klar, so bekommst Du eine Formel - aber kein Verständnis für die Sache.
Ein wirkliches Verständnis kannst Du mMn nur bekommen, wenn Du wirklich viele, viele Gebiete zeichnerisch "zerschneidest" und dabei beobachtest, was passiert.
Man kann ja geschickt (im Sinne der Aufgabenstellung) schneiden und ungeschickt.
Wenn man (wie z.B. ich und viele andere und offenbar auch Du) in seiner Vorstellungskraft etwas beschränkt ist, findet man nicht auf dem Sofa liegend heraus, was geschickt ist und was ungeschickt, sondern durchs Tun, welches in der Regel dazu führt, daß man irgendwann be-greift.
Ungeschickt: der neue Schnitt geht durch einen bereits vorhandenen Schittpunkt
Ungeschickt: der neue Schnitt ist parallel zu einem der vorherigen Schnitte.
Geschickt: der neue Schnitt schneidet alle vorherigen Schnitte.
Wenn Du herausgefunden hast, welche Schnittführung geschickt ist, dann kannst Du auch beobachten, wieviele neue Gebiete dadurch jeweils entstehen.
Du wirst dies beobachten können:
ohne Schnitt hast Du ein Gebiet, [mm] x_0=1
[/mm]
Der 1.Schnitt liefert Dir ein weiteres Gebiet, [mm] x_1=x_0+1
[/mm]
Durch den 2. Schnitt entstehen 2 neue Gebiete, [mm] x_2=x_1+2
[/mm]
Durch den 3. Schnitt entstehen 3 neue Gebiete, [mm] x_3=x_2+3
[/mm]
usw.
Nicht "achso, alles klar" sagen.
Tun! Be-Greifen.
Und wenn Du das dann verstanden hast, dann kannst Du Dir klarmachen
[mm] x_0=1
[/mm]
[mm] x_1=x_0+1=1+1
[/mm]
[mm] x_2=x_1+2=(1+1)+2=1+(1+2)
[/mm]
[mm] x_3=x_2+3=(1+1+2)+3=1+(1+2+3)
[/mm]
usw.,
und nun solltest Du auch den Zusammenhang zur Gaußschen Summenformel erkennen.
> > Und zur Pizza: leg da mal eine rechteckige Platte drauf,
> > die nirgendwo über den Rand ragt und unterteil die Platte
> > (samt der Pizza) so wie oben. Wieviele Pizzateile hast Du
> > dann?
>
> Ist die pizza rechteckig wie die platte? dann bekomme ich
> dieselbe anzahl an teilen wie bei der platte
Die Pizza ist natürlich nicht rechteckig. Sonst wäre doch die Frage nach dem Zerteilen der Pizza doch wirklich mega-hohl!
Die Pizza ist rund, und wenn Du keine Pizza magst, nimm halt eine Schwarzwälder Kirschtorte.
LG Angela
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Hallo nochmal,
Angela hat alles Nötige gesagt und sogar noch mehr. Ich habe zusätzlich nur noch ein Bild für Dich:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Guck mal, da liegt eine Platte auf der Pizza.
Hilft Dir das beim Teilen?
Grüße
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Für mich liegt die Schwierigkeit darin herauszufinden wie man die Pizza schneiden muss, um möglichst viele teile zu bekommen
Bei 3 Schnitten bekomme ich höchstens 7 Teile
bei 4 Schnitten bekomme ich höchstens 10 Teile
Aber ich denke man kann durc geschickte Schnitte mehr Teile bekommen oder?
Wenn ich weiß wie viele Teile man höchstens bei den jeweiligen Schnitten bekommt, dann kann ich sicher auch eine Gleichung aufstelllen.
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> Für mich liegt die Schwierigkeit darin herauszufinden wie
> man die Pizza schneiden muss, um möglichst viele teile zu
> bekommen
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> Bei 3 Schnitten bekomme ich höchstens 7 Teile
>
> bei 4 Schnitten bekomme ich höchstens 10 Teile
>
> Aber ich denke man kann durc geschickte Schnitte mehr Teile
> bekommen oder?
Hallo,
ja.
Bei vier Schnitten kann man mehr bekommen.
Wenn Du nämlich so schneidest wie beim rechteckigen Stück.
> Wenn ich weiß wie viele Teile man höchstens bei den
> jeweiligen Schnitten bekommt, dann kann ich sicher auch
> eine Gleichung aufstelllen.
Du machst schon wieder den zweiten Schritt vor dem ersten...
Überlege Dir, wie man geschickt schneidet.
Es hatte Dir weiterhin reverend doch auch den Tip gegeben, Dir vorzustellen, die Rechtecke mit den Schnitten auf die Pizza zu legen - dafür hatte er natürlich einen Grund...
Mach das doch mal: schneide ein Rechteck wie in der vorherigen Teilaufgabe, lege es auf die Pizza und laß Dich inspirieren, z.B. indem Du die Schnitte verlängerst.
LG Angela
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Ich soll ja so schneiden das ich die vorherigen schnitte auch schneide. Das heißt ich soll meiden durch Schnittpunkte zu schneiden richtig?
Ich habe die pizza nun so geschnitten. die ersten 4 schnitte sind rot und der 5. ist grün:
[Dateianhang nicht öffentlich]
so ich bekomme bei
0 Schnitte = 1 Teil
1 Schnitte = 2 Teile
2 Schnitte = 4 Teile
3 Schnitte = 7 Teile
4 Schnitte = 11 Teile
5 Schnitte = 16 Teile
Das heißt ich bekomme genau so viele Teile wie beim Rechteck. Das heißt es gilt wieder:
$ [mm] x_n=\bruch{n(n+1)}{2}+1 [/mm] $ mit n=Schnitte und x=anzahl der Teile
Was soll mir das jetzt sagen? Das es egal ist um welche Form (kreis, Rechteck, Sechseck, Quadrat...) es sich handelt, wenn man den neuen Schnitt so setzt, das die vorherigen Schnitte mit geschnitten werden, dann gilt:
$ [mm] x_n=\bruch{n(n+1)}{2}+1 [/mm] $
War das der Sinn der aufgabe?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Ich soll ja so schneiden das ich die vorherigen schnitte
> auch schneide. Das heißt ich soll meiden durch
> Schnittpunkte zu schneiden richtig?
Hallo,
die Forderung, so zu schneiden, daß Du die maximale Anzahl an Stücken bekommst, kannst Du nur erfüllen, wenn Du es so machst.
Du "sollst" das nicht tun, sondern Du "mußt" es so machen, wenn Du max. Anzahl bekommen möchtest.
>
> Ich habe die pizza nun so geschnitten. die ersten 4
> schnitte sind rot und der 5. ist grün:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> so ich bekomme bei
>
> 0 Schnitte = 1 Teil
> 1 Schnitte = 2 Teile
> 2 Schnitte = 4 Teile
> 3 Schnitte = 7 Teile
> 4 Schnitte = 11 Teile
> 5 Schnitte = 16 Teile
>
> Das heißt ich bekomme genau so viele Teile wie beim
> Rechteck. Das heißt es gilt wieder:
>
> [mm]x_n=\bruch{n(n+1)}{2}+1[/mm] mit n=Schnitte und x=anzahl der
> Teile
Genau.
>
>
> Was soll mir das jetzt sagen?
Sagen - soll es Dir erstmal, daß die Anzahl der Stücke bei Rechteck und Kreis gleich ist.
Ich könnte mir vorstellen, daß Deine Chefs eine Begründung dafür wissen möchten. reverends Idee mit dem aufgelegten Rechteck ist als Begründung wunderbar.
> Das es egal ist um welche
> Form (kreis, Rechteck, Sechseck, Quadrat...)
Ganz egal ist die Form nicht.
Es muß sich um konvexe Formen handeln,
die von Dir genannten sind solche.
> es sich
> handelt, wenn man den neuen Schnitt so setzt, das die
> vorherigen Schnitte mit geschnitten werden, dann gilt:
>
> [mm]x_n=\bruch{n(n+1)}{2}+1[/mm]
>
> War das der Sinn der aufgabe?
Der Sinn? Ich denke, es geht hier weniger darum, daß Deine Chefs es für unglaublich wichtig halten, daß Du ab sofort für ein und alle Male weißt, wieviele Stücke Du mit n Schnitten bekommst.
Hier geht es wohl eher darum, daß Du lernst, mit mathematischen Fragestellungen sinnvoll umzugehen, daß Du lernst, Vermutungen aufzustellen und auf ihre Stichfestigkeit zu prüfen, sie anschließend zu begründen und auch darum, aufzuzeigen, daß hier die neu gelernte Gaußformel mit im Spiel ist, was man ja zunächst nicht gleich denken würde.
LG Angela
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