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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass [mm] v_{1} [/mm] = [mm] v_{2} [/mm] = [mm] v_{3}. [/mm]
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n} (x_{i}-x^{'})^{2}
[/mm]
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-1} ((\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2})-nx^{'}^{2})
[/mm]
[mm] v_{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n} (x_{i}^{2}-x^{'}^{2}) [/mm] |
Ich weiß, dass [mm] v_{1} [/mm] - [mm] v_{3} [/mm] Varianzen sind.
Außerdem weiß ich, dass [mm] x^{'} [/mm] der Mittelwert von [mm] x_{i} [/mm] ist mit [mm] x^{'}= \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} x_{i}.
[/mm]
Nun soll ich also zeigen, dass [mm] v_{1} [/mm] = [mm] v_{2} [/mm] = [mm] v_{3}.
[/mm]
Leider bin ich nicht so gut darin mit Summen zu rechnen.
Was ich noch hinbekomme ist, in [mm] v_{1} [/mm] - [mm] v_{3} x^{'} [/mm] einzusetzen. Aber dann weiß ich leider nicht weiter.
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n} (x_{i}-\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} x_{i})^{2}
[/mm]
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-1} ((\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2})-n(\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} x_{i})^{2})
[/mm]
[mm] v_{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n} (x_{i}^{2}-(\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} x_{i})^{2})
[/mm]
Vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben.
Danke!
Stephanie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Mo 10.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Stephanie!
> Zeigen Sie, dass [mm]v_{1}[/mm] = [mm]v_{2}[/mm] = [mm]v_{3}.[/mm]
>
> [mm]v_{1} = \bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n} (x_{i}-x^{'})^{2}[/mm]
>
> [mm]v_{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n-1} ((\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2})-nx^{'}^{2})[/mm]
>
> [mm]v_{3}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n} (x_{i}^{2}-x^{'}^{2})[/mm]
>
> Ich weiß, dass [mm]v_{1}[/mm] - [mm]v_{3}[/mm] Varianzen sind.
> Außerdem weiß ich, dass [mm]x^{'}[/mm] der Mittelwert von [mm]x_{i}[/mm] ist
> mit [mm]x^{'}= \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} x_{i}.[/mm]
> Nun soll
> ich also zeigen, dass [mm]v_{1}[/mm] = [mm]v_{2}[/mm] = [mm]v_{3}.[/mm]
>
> Leider bin ich nicht so gut darin mit Summen zu rechnen.
> Was ich noch hinbekomme ist, in [mm]v_{1}[/mm] - [mm]v_{3} x^{'}[/mm]
> einzusetzen. Aber dann weiß ich leider nicht weiter.
Tipp: Binom ausmultiplizieren:
[mm] \summe_{i=1}^{n} (x_{i}-x')^{2} = \summe_{i=1}^{n}(x_i^2-2x_ix'+x'^2) =\left(\summe_{i=1}^{n}x_i^2\right) - 2 x' \underbrace{\left(\summe_{i=1}^{n}x_i\right)}_{nx'} +x '^2 \underbrace{\summe_{i=1}^{n}1}_n = \left(\summe_{i=1}^{n}x_i^2\right) - 2 n x'^2 + n x'^2 =\left(\summe_{i=1}^{n}x_i^2\right) - n x'^2 [/mm]
Die anderen gehen genauso.
Viele Grüße
Rainer
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