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| Aufgabe | | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert die Reihe [mm] \sum_{k=1}^{\infty} x^k/k, [/mm] und für welche x konvergiert sie absolut? |
Quotentenkriterium
| [mm] \frac{a_{k+1}}{a_k}| [/mm] = [mm] \frac{|x|^{k+1}*k}{(k+1) *|x|}= |x|^k [/mm] * [mm] \frac{k}{k+1} ->k->\infty [/mm] ??
Könnte ihr mir da weiterhelfen??
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Mo 12.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] konvergiert die Reihe
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} x^k/k,[/mm] und für welche x konvergiert
> sie absolut?
> Quotentenkriterium
> | [mm]\frac{a_{k+1}}{a_k}|[/mm] = [mm]\frac{|x|^{k+1}*k}{(k+1) *|x|}= |x|^k[/mm]
> * [mm]\frac{k}{k+1} ->k->\infty[/mm] ??
Das ist aber schlampig !
Klar ist, dass die Reihe für x=0 konv. Sei also x [mm] \ne [/mm] 0:
| [mm]\frac{a_{k+1}}{a_k}|[/mm] = [mm]\frac{|x|^{k+1}*k}{(k+1) *|x|^k}= |x|[/mm] * [mm]\frac{k}{k+1} \to |x|[/mm] für k [mm] \to \infty.
[/mm]
Nach Dem QK haben wir absolute Konvergenz für |x|<1 und Divergenz für |x|>1.
So, nun betrachte Du die Fälle x = [mm] \pm [/mm] 1
FRED
>
> Könnte ihr mir da weiterhelfen??
> Danke
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> | [mm]\frac{a_{k+1}}{a_k}|[/mm] = [mm]\frac{|x|^{k+1}*k}{(k+1) *|x|^k}= |x|[/mm]
> * [mm]\frac{k}{k+1} \to |x|[/mm] für k [mm]\to \infty.[/mm]
okay verstehe.
> Nach Dem QK haben wir absolute Konvergenz für |x|<1 und
> Divergenz für |x|>1.
Wie kommt man darauf?? Dass verstehe ich wiederum gar nicht. !
> > Danke
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Mo 12.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wozu hast du das Quotientenkriterium angewendet?
was sagt dir das?
Hast du schon mal den Begriff Konvergenzradius gehört?
Gruss leduart
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Hallo!
Ich hab es im Internet gegoogelt und jetzt verstanden aus was die Folgerung kommt!!
Noch zu untersuchen:
|x| =1 : x=1 bzw x=-1
Sind dass auch Konvergenzkriterien die ich anwenden muss oder macht man das anders?
Liebste Grüße
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> Noch zu untersuchen:
> |x| =1 : x=1 bzw x=-1
> Sind dass auch Konvergenzkriterien die ich anwenden muss
> oder macht man das anders?
Hallo,
am besten setzt Du erstmal ein und entscheidest dann, wie weitergemacht wird.
Was bekommst Du denn?
Gruß v. Angela
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Hallo,
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> am besten setzt Du erstmal ein und entscheidest dann, wie
> weitergemacht wird.
> Was bekommst Du denn?
In die Reihe einsetzen?
$ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} x^k/k, [/mm] $
$ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} [/mm] 1/k, $
$ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k/k, [/mm] $
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> Hallo,
> >
> > am besten setzt Du erstmal ein und entscheidest dann, wie
> > weitergemacht wird.
> > Was bekommst Du denn?
> In die Reihe einsetzen?
Hallo,
ja, natürlich.
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} x^k/k,[/mm]
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} 1/k,[/mm]
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k/k,[/mm]
Ja, und weiter?
Diese Reihen wurden in der Vorlesung besprochen, und Du mußt ihre Eigenschaften zu jeder Tages- und Nachtzeit parat haben.
Gruß v. Angela
>
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> > [mm]\sum_{k=1}^{\infty} 1/k,[/mm]
divergent
> >
> > [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k/k,[/mm]
>
Ist eine alternierende Reihe?
Reihe konv oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > [mm]\sum_{k=1}^{\infty} 1/k,[/mm]
> divergent
Ja
> > >
> > > [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k/k,[/mm]
> >
> Ist eine alternierende Reihe?
> Reihe konv oder?
Ja
FRED
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