Summe zweier Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Lukas147 |
Hallo !
Habe folgende Aufgabe zu lösen:
Seien [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] Folgen reeler Zahlen mit [mm] \lim_{n \to \infty}a_n [/mm] = [mm] \infty [/mm] und [mm] \lim_{n \to \infty}b_n [/mm] =: b [mm] \in \IR [/mm]
Es soll bewiesen werden :
[mm] \lim_{n \to \infty}(a_n+b_n) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Ich hätte hier folgendes gerechnet: [mm] \lim_{n \to \infty}(a_n+b_n) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}a_n [/mm] + [mm] \lim_{n \to \infty}b_n [/mm] = [mm] \infty [/mm] + b = [mm] \infty [/mm] . Aber jetzt meine Frage : Kann ich diese Rechenregel auch für [mm] \lim_{n \to \infty}a_n [/mm] = [mm] \infty [/mm] benutzen da diese Folge ja nur uneigentlich konvergent ist, diese Rechenregel allerdings nur für konvergente Folgen gilt ?
lg Lukas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lukas,
> Hallo !
>
> Habe folgende Aufgabe zu lösen:
> Seien [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] Folgen reeler
reell schreibt man mit [mm] Doppel-$\ell$.
[/mm]
> Zahlen mit [mm]\lim_{n \to \infty}a_n[/mm]
> = [mm]\infty[/mm] und [mm]\lim_{n \to \infty}b_n[/mm] =: b [mm]\in \IR[/mm]
> Es soll bewiesen werden :
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}(a_n+b_n)[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>
> Ich hätte hier folgendes gerechnet: [mm]\lim_{n \to \infty}(a_n+b_n)[/mm]
> = [mm]\lim_{n \to \infty}a_n[/mm] + [mm]\lim_{n \to \infty}b_n[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> + b = [mm]\infty[/mm] . Aber jetzt meine Frage : Kann ich diese
> Rechenregel auch für [mm]\lim_{n \to \infty}a_n[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> benutzen da diese Folge ja nur uneigentlich konvergent ist,
> diese Rechenregel allerdings nur für konvergente Folgen
> gilt ?
Das ist so kein Beweis - aber die Definition [mm] $r+\infty=\infty$ [/mm] (für alle $r [mm] \in \IR$) [/mm] hilft natürlich, um die Regel zu behalten (beachte auch: [mm] $\infty,-\infty \notin \IR$) [/mm] . Und in der Tat darfst Du nicht mit "Rechenregeln für in [mm] $\IR$ [/mm] konvergente Folgen" argumentieren, da [mm] $(a_n)$ [/mm] eben in [mm] $\IR$ [/mm] nicht konvergiert. (Andernfalls gäbe es ein $a [mm] \red{\in \IR}$, [/mm] so dass es zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N_\epsilon \in \IN$ [/mm] gibt, so dass [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$)
[/mm]
Wir setzen [mm] $c_n:=a_n+b_n\,,$ [/mm] und um [mm] $c_n \to \infty$ [/mm] zu beweisen, ist per Definitionem zu zeigen:
Für jedes $M > [mm] 0\,$ [/mm] existiert eine natürliche Zahl [mm] $N=N_M \in \IN$ [/mm] derart, dass [mm] $c_n \ge [/mm] M$ für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt.
Tipps:
Du kannst beispielsweise ausnutzen:
Es gilt für jedes $n [mm] \in \IN$
[/mm]
[mm] $$|a_n+b_n| \ge |a_n|-|b_n|\,,$$
[/mm]
(das folgt wegen [mm] $|a_n|=|a_n+b_n+(-b_n)| \le |a_n+b_n|+|-b_n|$)
[/mm]
und weiterhin kann man [mm] $|b_n| \le [/mm] |b|+1$ für alle $n [mm] \ge N_1$ [/mm] für ein gewisses [mm] $N_1 \in \IN$ [/mm] abschätzen. (Warum?)
Der Beweis beginnt dann etwa so:
Sei $M > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $\tilde{M}:=M+(|b|+1) [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Weil [mm] $a_n \to \infty\,,$ [/mm] existiert ein [mm] $N_2 \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $|a_n| \ge \tilde{M}=M+(|b|+1)$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_2\,.$ [/mm] Etc. pp..
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Lukas147 |
> Wir setzen [mm]c_n:=a_n+b_n\,,[/mm] und um [mm]c_n \to \infty[/mm] zu
> beweisen, ist per Definitionem zu zeigen:
> Für jedes [mm]M > 0\,[/mm] existiert eine natürliche Zahl [mm]N=N_M \in \IN[/mm]
> derart, dass [mm]c_n \ge M[/mm] für alle [mm]n \ge N[/mm] gilt.
>
> Tipps:
> Du kannst beispielsweise ausnutzen:
> Es gilt für jedes [mm]n \in \IN[/mm]
> [mm]|a_n+b_n| \ge |a_n|-|b_n|\,,[/mm]
>
> (das folgt wegen [mm]|a_n|=|a_n+b_n+(-b_n)| \le |a_n+b_n|+|-b_n|[/mm])
>
> und weiterhin kann man [mm]|b_n| \le |b|+1[/mm] für alle [mm]n \ge N_1[/mm]
> für ein gewisses [mm]N_1 \in \IN[/mm] abschätzen. (Warum?)
Da die folge konvergent ist, ist sie auch beschränkt und somit ist der Betrag der Folge immer kleiner gleich seinem Grenzwert. Müsste aus dem [mm] \le [/mm] nicht ein echt < wegen dem +1 werden?
>
> Der Beweis beginnt dann etwa so:
> Sei [mm]M > 0\,.[/mm] Dann ist [mm]\tilde{M}:=M+(|b|+1) > 0\,.[/mm] Weil [mm]a_n \to \infty\,,[/mm]
> existiert ein [mm]N_2 \in \IN[/mm] so, dass [mm]|a_n| \ge \tilde{M}=M+(|b|+1)[/mm]
> für alle [mm]n \ge N_2\,.[/mm] Etc. pp..
Müsste das nicht schon reichen? Denn man hat hier ja immerhin schon gezeigt dass für ein [mm] N_2 \in [/mm] IN gilt:
[mm] |a_n| \ge [/mm] M +(|b|+1) und damit [mm] |a_n| [/mm] > M [mm] +|b_n|
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 > M [mm] +|b_n| [/mm] - [mm] |a_n|
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] -M > [mm] |b_n| [/mm] - [mm] |a_n| [/mm] |*(-1)
[mm] \gdw [/mm] M < [mm] |a_n| [/mm] - [mm] |b_n|
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] M < [mm] |a_n+b_n| [/mm] = [mm] |c_n| [/mm]
Darf man solche Umformungen in diesem Fall machen ?
lg Lukas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 So 03.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> > Wir setzen [mm]c_n:=a_n+b_n\,,[/mm] und um [mm]c_n \to \infty[/mm] zu
> > beweisen, ist per Definitionem zu zeigen:
> > Für jedes [mm]M > 0\,[/mm] existiert eine natürliche Zahl
> [mm]N=N_M \in \IN[/mm]
> > derart, dass [mm]c_n \ge M[/mm] für alle [mm]n \ge N[/mm] gilt.
> >
> > Tipps:
> > Du kannst beispielsweise ausnutzen:
> > Es gilt für jedes [mm]n \in \IN[/mm]
> > [mm]|a_n+b_n| \ge |a_n|-|b_n|\,,[/mm]
>
> >
> > (das folgt wegen [mm]|a_n|=|a_n+b_n+(-b_n)| \le |a_n+b_n|+|-b_n|[/mm])
>
> >
> > und weiterhin kann man [mm]|b_n| \le |b|+1[/mm] für alle [mm]n \ge N_1[/mm]
> > für ein gewisses [mm]N_1 \in \IN[/mm] abschätzen. (Warum?)
>
> Da die folge konvergent ist, ist sie auch beschränkt und
> somit ist der Betrag der Folge immer kleiner gleich seinem
> Grenzwert.
richtig ist, dass die Folge konvergent und damit beschränkt ist. Auch damit könntest Du arbeiten. (Das macht es wirklich ein wenig einfacher, denn dann hat man die Existenz eines $C [mm] \ge [/mm] 0$ mit [mm] $|b_n| \le [/mm] C$ bzw. $-C [mm] \le b_n \le [/mm] C$ für alle $n [mm] \in \IN\,.$)
[/mm]
Aber es ist falsch, dass "die Betragsfolge" immer [mm] $\le$ [/mm] dem Betrag des Grenzwertes ist. Betrachte doch einfach [mm] $(1+1/n)_{n \in \IN}\,.$
[/mm]
> Müsste aus dem [mm]\le[/mm] nicht ein echt < wegen dem
> +1 werden?
Nein. Schau' mal in den Beweis, der zeigt, warum eine konvergente Folge stets beschränkt ist. Das [mm] $+1\,$ [/mm] ist dabei nicht so wichtig, da könnte auch $+3412564512$ stehen. (Wichtig ist halt, dass da $+irgendwas$ mit $irgendwas$ ECHT GRÖßER ALS NULL steht!)
Aber um ganz genau zu sein: Du kannst das auch mit [mm] $<\,$ [/mm] hinschreiben, MUSST es aber nicht. Denn es gilt folgendes:
Eine reellwertige Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist genau dann in [mm] $\IR$ [/mm] konvergent (gegen $a [mm] \in \IR$), [/mm] wenn es ein $a [mm] \in \IR$ [/mm] so gibt, dass gilt:
Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N=N_\epsilon \in \IN$ [/mm] so, dass gilt
[mm] $$|a_n-a| \stackrel{\alpha)}{\le} \epsilon \text{ für alle }n \stackrel{\beta)}{\ge}N\,.$$
[/mm]
An den Stellen [mm] $(\alpha),\;\beta))$ [/mm] darfst Du aber jede der vier Kombinationen
1.) [mm] $(\le,\ge)$ [/mm] (die steht ja schon oben)
2.) [mm] $(\le,>)$
[/mm]
3.) [mm] $(<,\ge)$
[/mm]
4.) [mm] $(<,>)\,$
[/mm]
benutzen und erhältst eine äquivalente Definition. D.h. es ist da egal, welche der vier Kombinationen man in Eurer Vorlesung gewählt hat. Wenn Du magst, kannst Du ja mal Eure Definition zitieren und dann zeigen, dass eine der anderen dazu äquivalent ist. Oder Du machst einen Beweis per Ringschluss!
> > Der Beweis beginnt dann etwa so:
> > Sei [mm]M > 0\,.[/mm] Dann ist [mm]\tilde{M}:=M+(|b|+1) > 0\,.[/mm] Weil
> [mm]a_n \to \infty\,,[/mm]
> > existiert ein [mm]N_2 \in \IN[/mm] so, dass [mm]|a_n| \ge \tilde{M}=M+(|b|+1)[/mm]
> > für alle [mm]n \ge N_2\,.[/mm] Etc. pp..
>
> Müsste das nicht schon reichen? Denn man hat hier ja
> immerhin schon gezeigt dass für ein [mm]N_2 \in[/mm] IN gilt:
Vorsicht: Das gilt nicht für ein [mm] $N_2\,,$ [/mm] sondern FÜR ALLE $n [mm] \ge N_2$!
[/mm]
> [mm]|a_n| \ge[/mm] M +(|b|+1) und damit [mm]|a_n|[/mm] > M [mm]+|b_n|[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 0 > M [mm]+|b_n|[/mm] - [mm]|a_n|[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] -M > [mm]|b_n|[/mm] - [mm]|a_n|[/mm] |*(-1)
> [mm]\gdw[/mm] M < [mm]|a_n|[/mm] - [mm]|b_n|[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] M < [mm]|a_n+b_n|[/mm] = [mm]|c_n|[/mm]
> Darf man solche Umformungen in diesem Fall machen ?
Warum nicht? Aber es muss dafür auch [mm] $N_2 \ge N_1$ [/mm] gelten - oder jedenfalls muss jedes betrachtete [mm] $n\,$ [/mm] neben $n [mm] \ge N_2$ [/mm] auch $n [mm] \ge N_1$ [/mm] erfüllen!
Aber eine kleine Zusatzüberlegung muss man hier auch dann noch anstellen: Und zwar ist [mm] $c_n \ge [/mm] 0$ jedenfalls für alle bis auf endlich viele [mm] $n\,.$ [/mm] Das muss noch begründet werden (folgt aber schnell aus [mm] $a_n \to \infty$). [/mm] Denn es gibt ja auch Folgen, die betragsmäßig gegen [mm] $\infty$ [/mm] streben, aber es alleine nicht tun: Etwa [mm] $((-1)^n*n)_{n \in \IN}\,.$
[/mm]
Ich mach's nun so, ich schreib' mal alles zusammen, und Du vollziehst es nach bzw. versuchst, es nachzuvollziehen. Wenn irgendwo ein Fehler ist (oder falls Du noch einen in der anderen Antwort siehst), bitte drauf hinweisen!
Also: Sei $M > [mm] 0\,$ [/mm] beliebig, aber fest. Wir haben zu zeigen, dass es ein [mm] $N=N_M \in \IN$ [/mm] so gibt, dass [mm] $c_n [/mm] > M$ für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Wir können [mm] $|b_n| \le [/mm] |b|+1$ für alle $n [mm] \ge N_1$ [/mm] mit einem gewissen [mm] $N_1 \in \IN$ [/mm] annehmen, denn:
Zu [mm] $\epsilon_0:=1 [/mm] > 0$ gibt es ein [mm] $N_1=N_{\epsilon_0} \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $|b_n-b| \le [/mm] 1$ für alle $n [mm] \ge N_1\,,$ [/mm] also folgt für diese $n [mm] \ge N_1$ [/mm] wegen der Dreiecksungleichung [mm] $|b_n| \le |b_n-b|+|b| \Rightarrow |b_n| \le 1+|b|\,.$ [/mm]
(Wenn Du in den Beweis, warum eine konvergente Folge beschränkt ist, reinguckst, steht da auch sowas. Danach setzt man etwa [mm] $C:=\max\{|b_1|,\ldots,|b_{N_1-1}|,\;1+|b|\}$ [/mm] - letztstehende Menge hat ein Maximum, weil es eine endliche Menge ist, und weil die Menge nur aus reellen Zahlen [mm] $\ge [/mm] 0$ besteht, ist dieses Maximum natürlich auch [mm] $\ge 0\,.$)
[/mm]
1. Zwischenerkenntnis: Es existiert ein [mm] $N_1 \in \IN$ [/mm] so, dass
$$-(1+|b|) [mm] \le b_n \le [/mm] 1+|b| [mm] \text{ für alle }n \ge N_1\,.$$
[/mm]
2. Wir setzen [mm] $\tilde{M}:=M+1+|b| [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] und aus [mm] $a_n \to \infty$ [/mm] folgt die Existenz eines [mm] $N_2 \in \IN$ [/mm] derart, dass [mm] $a_n \ge \tilde{M}=M+(1+|b|)$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_2$ [/mm] gilt.
Nun der Beweis: Wir setzen [mm] $N=N_M:=\max\{N_1,\;N_2\}\,.$ [/mm] Dann gilt für alle $n [mm] \ge [/mm] N$
[mm] $$c_n=a_n+b_n$$
[/mm]
[mm] $$\stackrel{\textbf{I.}}{\ge} \tilde{M}+b_n=:(\*) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{| wegen }n \ge N_2,.$$
[/mm]
Nun erfüllt jedes $n [mm] \ge N=\max\{N_1,\;N_2\}$ [/mm] auch $n [mm] \ge N_1\,,$ [/mm] also ist [mm] $\blue{\mathbf{-(1+|b|) \le b_n}} \le (1+|b|)\,,$ [/mm] und es folgt
[mm] $$(\*) \stackrel{\textbf{II.}}{\ge} \tilde{M}+(-(1+|b|))=M+1+|b|-1-|b|=M\,.$$
[/mm]
Siehst Du nun, warum man $N [mm] \ge \max\{N_1,\;N_2\}$ [/mm] wählen sollte? Denn um die Ungleichung [mm] $\textbf{I.}$ [/mm] hinschreiben zu dürfen, muss $n [mm] \ge N_2$ [/mm] sein. Bei [mm] $\textbf{II.}$ [/mm] braucht man aber auch $n [mm] \ge N_1\,.$
[/mm]
Was Du natürlich auch machen kannst: Erstmal sagen, dass es ein solches [mm] $N_1$ [/mm] wie oben gibt. Dann sagst Du, dass es auch ein solches [mm] $N_2$ [/mm] wie oben gibt und nimmst nun an, dass o.E. auch [mm] $N_2 \ge N_1$ [/mm] sei. Formal würde das bedeuten, dass dann [mm] $N=\max\{N_1,\;N_2\}=N_2$ [/mm] wäre. Manche Leute arbeiten lieber mit "endlich oft annehmen, dass die geforderten neuen [mm] $N\,$'s [/mm] größergleich als die letzten wären" - andere arbeiten lieber mit der [mm] $\max\{...\}$-Definition, [/mm] wobei die Menge [mm] $\{...\}$ [/mm] bei solchen Aufgaben natürlich dann auch ein Maximum haben sollte - was gewährleistet ist, wenn es eine endliche Menge ist!
Gruß,
Marcel
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