Summe von Zufallsvariablen < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo liebes Forum,
ich bin mir bei einer Berechnung nicht sicher ob das so stimmt.
$X$ sei eine stetige und $Y$ eine diskrete Zufallsvariable. $f$ sei die Dichte von $X$ und $p(y)$ die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $Y$ den Wert $y$ annimmt.
[mm] P(X+Y \leq s) = \sum_{y \in \mathbb{Z}} \int_{\{(x,y):x+y \leq s\}} f(x) p(y) dx = \sum_{y \in \mathbb{Z}} \int_{-\infty}^{s-y} f(x) p(y) dx = \sum_{y \in \mathbb{Z}} \int_{-\infty}^{s} f(z-y)p(y)dx = \int_{-\infty}^s \left( \sum_{y \in \mathbb{Z}} f(z-y)p(y) \right) dx [/mm]
Für die letzte Gleichung hab ich den Satz von der monotonen Konvergenz (Beppo Levi) verwendet.
Ist da ein Fehler drin oder ist das so richtig? Muss ich da noch etwas extra begründen?
Schonmal Danke fürs bis hier hin lesen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hiho,
deine erste Gleichung gilt nur, wenn X und Y unabhängig sind.
Für den letzten Schritt kannst du auch Fubini nutzen.
Ansonsten sieht das gut aus.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hi, danke für deine Antwort!
Die Zufallsvariablen $X$ und $Y$ sollen unabhängig sein, das hatte ich vergessen anzugeben. Gilt der Satz von Fubini nicht nur für Integrale? Hier ist ja eine unendliche Summe und ein Integral....
|
|
|
| |
|
Hiho,
eine unendliche Summe ist doch nichts anderes als das Integral über ein diskretes Maß.
Beispielsweise ist: [mm] $\summe_{k=0}^\infty 2^{-k} [/mm] = [mm] \integral_{[0,\infty)} 2^{-x} d\mu$ [/mm] falls [mm] \mu [/mm] das Zählmaß auf [mm] $\IN_0$ [/mm] ist.
Gruß,
Gono.
|
|
|
|
