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| Aufgabe | Wir betrachten die Potenzreihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}n^{3} ln(1+n^{2})x^{n}
[/mm]
mit der Summe [mm] f^{}
[/mm]
a)
Findet 2 Potenzreihen, deren Summen die funktionen [mm] f_{\pm}(x): [/mm] ]-1, 1[ [mm] \to \IR [/mm] sind, definiert durch
[mm] f_{+}(x)=\bruch{1}{2}(f(x)+f(-x)) [/mm] und [mm] f_{-}(x)=\bruch{1}{2}(f(x)-f(-x)) [/mm]
b)
Erklärt, dass es 2 differenzierbare Funktionen g und h auf das Interval ]-1, 1[ gibt, so dass
[mm] f(x)=g(x^{2})+xh(x^{2}) [/mm] für [mm] x^{} \in [/mm] ]-1, 1[
und findet g'(0) und h'(0) |
Hallo Alle
Hat jemand bitte Ideen zur Lösung dieser Aufgaben?
Ich hab rausgefunden, dass die Reihe Konvergenzradius 1 hat, kann aber nicht richtig weiterkommen.
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Hallo Vogelfaenger,
nur ein kleiner aber wichtiger Tipp zum Beginnen:
[mm] (-x)^n =-x^n [/mm] für ungerades n
[mm] (-x)^n =x^n [/mm] für gerades n
zerlege zuerst f(x) in eine Summe: [mm] f_u(x)+f_g(x) [/mm] (ungerade+gerade Funktion)
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Hallo Al-Chwarizmi
Ok, also du meinst so;
[mm] f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}n^{3}ln(1+n^{2})x^{n}=ln2*x+2^{3}ln5*x^{2}+3^{3}ln10*x^{3}
[/mm]
und [mm] f(-x)=\summe_{n=1}^{\infty}n^{3}ln(1+n^{2})(-x)^{n}=-ln2*x+2^{3}ln5*x^{2}-3^{3}ln10*x^{3}
[/mm]
und dann
[mm] f(x)+f(-x)=\summe_{n=1}^{\infty}(2n)^{3}ln(1+(2n)^{2})x^{2n}
[/mm]
und ebenso mit
[mm] f(x)-f(-x)=\summe_{n=0}^{\infty}(2n+1)^{3}ln(1+(2n+1)^{2})x^{2n+1}
[/mm]
Richtig so?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Vogelfänger!
> [mm]f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}n^{3}ln(1+n^{2})x^{n}=ln2*x+2^{3}ln5*x^{2}+3^{3}ln10*x^{3}[/mm]
Wie um Himmels Willen kommst Du auf diesen letzten Term? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Betrachte - wie oben vorgeschlagen - gerade und ungerade $n_$ getrennt:
$$f(x) \ = \ [mm] f_u(x)+f_g(x)$$
[/mm]
[mm] $$f_u(x) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(2k-1)^3*\ln\left[1+(2k-1)^2\right]*x^{2k-1}$$
[/mm]
[mm] $$f_g(x) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(2k)^3*\ln\left[1+(2k)^2\right]*x^{2k}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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> Wie um Himmels Willen kommst Du auf diesen letzten Term?
>
Was ich meinte war
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}n^{3}ln(1+n^{2})x^{n}=ln2*x+2^{3}ln5*x^{2}+3^{3}ln10*x^{3}+ [/mm] ... usw.
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> Hallo Vogelfänger!
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> [mm]f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}n^{3}ln(1+n^{2})x^{n}=ln2*x+2^{3}ln5*x^{2}+3^{3}ln10*x^{3}[/mm]
>
> Wie um Himmels Willen kommst Du auf diesen letzten Term?
>
>
> Betrachte - wie oben vorgeschlagen - gerade und ungerade [mm]n_[/mm]
> getrennt:
>
> [mm]f(x) \ = \ f_u(x)+f_g(x)[/mm]
> [mm]f_u(x) \ = \ \summe_{k=1}^{\infty}(2k-1)^3*\ln\left[1+(2k-1)^2\right]*x^{2k-1}[/mm]
>
> [mm]f_g(x) \ = \ \summe_{k=1}^{\infty}(2k)^3*\ln\left[1+(2k)^2\right]*x^{2k}[/mm]
>
> Gruß
> Loddar
>
hallo Vogelfaenger und Loddar,
es ist beides richtig !
Auf den Term
[mm]f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}n^{3}ln(1+n^{2})x^{n}=ln2*x+2^{3}ln5*x^{2}+3^{3}ln10*x^{3}[/mm]
(den man hinten noch durch pünktchenpünktchenpünktchen
ergänzen sollte) kommt man, wenn man einfach einige
Glieder konkret aufschreibt. Dies kann man jetzt ausein-
andernehmen in
[mm] f_u(x)=\summe_{u=1}^{\infty}u^3*ln(1+u^2)x^u=1*ln(2)*x+27*ln(10)*x^3+.....
[/mm]
[mm]u\ ungerade[/mm]
[mm] f_g(x)=\summe_{g=2}^{\infty}g^3*ln(1+g^2)x^g=8*ln(5)*x^2+64*ln(17)*x^4+.....
[/mm]
[mm]g\ gerade[/mm]
Tatsächlich ist [mm] f_g(x)=f_+(x) [/mm] und [mm] f_u(x)=f_-(x) [/mm] (siehe Aufgabenstellung)
wie man leicht nachrechnen kann.
Mit dieser Zerlegung ist es auch nicht mehr schwierig,
den Rest der Aufgabe zu lösen.
LG Al-Chw.
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