Summe von Funktionen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Di 29.05.2007 | | Autor: | annklo |
| Aufgabe | Jede Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] lässt sich auf genau eine Art als Summe einer geraden Funktion g: [mm] \IR \to \IR [/mm] und einer ungeraden Funktion u: [mm] \IR \to \IR [/mm] darstellen. Dabei ist [mm] g(x)=\bruch{1}{2}(f(x)+f(-x)), u(x)=\bruch{1}{2}(f(x)-f(-x))
[/mm]
a) Zeigen Sie: g ist eine gerade, u eine ungerade Funktion.
b) Zeigen Sie die Eindeutigkeit der Darstellung?
c) Stellen Sie [mm] f:\IR \to \IR [/mm] mit [mm] f(x)=\bruch{1}{1+x+x²} [/mm] als f=g+u dar. |
Hallo Matheraum-Genies,
Also zu a) habe ich folgendes:
Erstmal die Definition:
f heißt gerade wenn,
i) x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] -x [mm] \in [/mm] A
ii) f(-x)=f(x), für alle x [mm] \in [/mm] A
f heißt ungerade, wenn
i) x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] -x [mm] \in [/mm] A
ii) f(-x) = -f(x)
Also zur Aufgabe: [mm] g(x)=\bruch{1}{2}(f(x)+f(-x)) [/mm]
[mm] \Rightarrow g(-x)=\bruch{1}{2}(f(-x)+f(x))
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ist gleich also ist g(x) gerade
[mm] u(x)=\bruch{1}{2}(f(x)-f(-x))
[/mm]
[mm] \Rightarrow u(-x)=\bruch{1}{2}(f(-x)-f(x)) [/mm]
[mm] \Rightarrow -u(x)=\bruch{1}{2}(-f(x)+f(-x))
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] u(-x) und -u(x) sind gleich also ist u(x) ungerade
- ist a) schonmal so richtig?
-Was soll ich unter b) verstehen?
[mm] \Rightarrow [/mm] ich finde meine Darstellung schon sehr Eindeutig 
- c) Ich verstehe die Aufgabe nicht so ganz. Soll ich zeigen, dass f das gleiche ist wie g+u oder soll ich g+u ausrechnen und f rausbekommen oder umgekehrt?
[mm] \Rightarrow [/mm] wenn ich g(x) ausrechne, komm ich auf 0
- [mm] g(x)=\bruch{1}{2}(f(x)+f(-x)) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(f(x-x)) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(f(0)) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*0 [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] wenn ich u(x) ausrechne,komm ich auf f(x)
- [mm] u(x)=\bruch{1}{2}(f(x)-f(-x)) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(f(x+x)) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*2*(f(x)) [/mm] = f(x)
[mm] \Rightarrow [/mm] das würde bedeuten, dass g+u = 0+f(x) = f(x)
ABER hab ich da richtig gedacht???
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Hallo annklo,
> Jede Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] lässt sich auf genau eine Art
> als Summe einer geraden Funktion g: [mm]\IR \to \IR[/mm] und einer
> ungeraden Funktion u: [mm]\IR \to \IR[/mm] darstellen. Dabei ist
> [mm]g(x)=\bruch{1}{2}(f(x)+f(-x)), u(x)=\bruch{1}{2}(f(x)-f(-x))[/mm]
>
> a) Zeigen Sie: g ist eine gerade, u eine ungerade
> Funktion.
> b) Zeigen Sie die Eindeutigkeit der Darstellung?
> c) Stellen Sie [mm]f:\IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=\bruch{1}{1+x+x²}[/mm]
> als f=g+u dar.
> Hallo Matheraum-Genies,
> Also zu a) habe ich folgendes:
> Erstmal die Definition:
> f heißt gerade wenn,
> i) x [mm]\in[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] -x [mm]\in[/mm] A
> ii) f(-x)=f(x), für alle x [mm]\in[/mm] A
> f heißt ungerade, wenn
> i) x [mm]\in[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] -x [mm]\in[/mm] A
> ii) f(-x) = -f(x) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Also zur Aufgabe: [mm]g(x)=\bruch{1}{2}(f(x)+f(-x))[/mm]
> [mm]\Rightarrow g(-x)=\bruch{1}{2}(f(-x)+f(x))[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] ist
> gleich also ist g(x) gerade
>
> [mm]u(x)=\bruch{1}{2}(f(x)-f(-x))[/mm]
> [mm]\Rightarrow u(-x)=\bruch{1}{2}(f(-x)-f(x))[/mm]
> [mm]\Rightarrow -u(x)=\bruch{1}{2}(-f(x)+f(-x))[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> u(-x) und -u(x) sind gleich also ist u(x) ungerade
>
> - ist a) schonmal so richtig? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") ja, völlig richtig
> -Was soll ich unter b) verstehen?
> [mm]\Rightarrow[/mm] ich finde meine Darstellung schon sehr
> Eindeutig
Hmm, jein, durch die Definition von g und u ist das schon irgendwie eindeutig.
Die Eindeutigkeit ergibt sich aus der Herleitung der Darstellung von g und u
Nehmen wir an, es gäbe eine ungerade Funktion u und eine gerade Funktion g, so dass sich f darstellen lässt als $f(x)=g(x)+u(x)$ (I)
Dann ist $f(-x)=g(-x)+u(-x)=g(x)-u(x)$ (II)
Addiere mal die Gleichungen (I) und (II) .... Dann bekommst du genau die Darstellung von g, die auch oben angegeben ist, und die Eindeutigkeit folgt direkt.
Nimm an, es gäbe eine zweite gerade Funkton g' mit $f(x)=g'(x)+u(x)$
Dann kannst du die ganze Rechnung genauso durchziehen und siehst, dass g' exakt dieselbe Darstellung hat wie g.
Für u musst du die beiden Gleichungen (I),(II) subrahieren
>
> - c) Ich verstehe die Aufgabe nicht so ganz. Soll ich
> zeigen, dass f das gleiche ist wie g+u oder soll ich g+u
> ausrechnen und f rausbekommen oder umgekehrt?
> [mm]\Rightarrow[/mm] wenn ich g(x) ausrechne, komm ich auf 0
> - [mm]g(x)=\bruch{1}{2}(f(x)+f(-x))[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}(f(x-x))[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}(f(0))[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}*0[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] wenn ich u(x) ausrechne,komm ich auf f(x)
> - [mm]u(x)=\bruch{1}{2}(f(x)-f(-x))[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}(f(x+x))[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}*2*(f(x))[/mm] = f(x)
> [mm]\Rightarrow[/mm] das würde bedeuten, dass g+u = 0+f(x) = f(x)
>
> ABER hab ich da richtig gedacht???
Du hast dich da aber irgendwie grob fahrlässig verrechnet
Es ist doch [mm] $g(x)=\frac{1}{2}(f(x)+f(-x))=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+x+x^2}+\frac{1}{1-x+x^2}\right)=....$
[/mm]
Das mal weiter vereinfachen und zusammenfassen liefert dir die explizite Darstellung von g.
Mit u analog. Du kannst ja dann nachher, wenn du g,u berechnet hast die Probe machen, ob sie (un-)gerade sind
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Di 29.05.2007 | | Autor: | annklo |
Aber die Funktion f(x) wird doch erst bei c) gegeben- darf ich sie dann shcon bei a),b) und c) anwenden- ich dachte, da wäre das eher allgemein?
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Hi nochmal,
ja die Darstellung in (a) ist allgemein.
Nun hast du in (c) eine konkrete Abbildungsvorschrift für f, die durch einsetzen derselben in die (allg.) Formel explizite Darstellungen von g und u für dieses spezielle f liefern
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Di 29.05.2007 | | Autor: | annklo |
Also gebe ich a) und b) allgmein an? und erst bei c) setze ich ein -so dass ich f rausbekomme-oder?
Danke für die Geduld, mit mir
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Jo,
(a) und (b) musste allgemein angehen mit der Definition von g und u als [mm] \frac{1}{2}\cdot{}....
[/mm]
Das sind ja Aussagen, die nicht nur für einen Spezialfall wie in (c) gelten sollen.
In (c) sollst du dann mal KONKRET so ein g und u berechnen zu einem speziellen f
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mi 30.05.2007 | | Autor: | annklo |
Ich bin's nochmal
Zu b)
> Die Eindeutigkeit ergibt sich aus der Herleitung der
> Darstellung von g und u
>
> Nehmen wir an, es gäbe eine ungerade Funktion u und eine
> gerade Funktion g, so dass sich f darstellen lässt als
> [mm]f(x)=g(x)+u(x)[/mm] (I)
>
> Dann ist [mm]f(-x)=g(-x)+u(-x)=g(x)-u(x)[/mm] (II)
>
> Addiere mal die Gleichungen (I) und (II) .... Dann bekommst
> du genau die Darstellung von g, die auch oben angegeben
> ist, und die Eindeutigkeit folgt direkt.
-das verstehe ich nicht so ganz...heißt das ich bin fertig oder nicht?
> Nimm an, es gäbe eine zweite gerade Funkton g' mit
> [mm]f(x)=g'(x)+u(x)[/mm]
> Dann kannst du die ganze Rechnung genauso durchziehen und
> siehst, dass g' exakt dieselbe Darstellung hat wie g.
>
> Für u musst du die beiden Gleichungen (I),(II) subrahieren
ich habe jetzt erst I & II addiert und g rausbekommen und danach I & II subtrahiert und u rausbekommen... reicht das für den Beweis der Eindeutigkeit? Oder muss ich noch irgendwas machen,damit der Beweis vollständig ist?
DANKE schön
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Hi,
mit der Eindeutigkeit wärest du dann fertig, denn du hast ja angenommen, es gäbe 2 gerade Funktionen $g,g'$ mit $f(x)=g(x)+u(x)=g'(x)+u(x)$ und hast gezeigt, dass $g$ und $g'$ exakt dieselbe Darstellung haben.
Für $u,u'$ mit $f(x)=g(x)+u(x)=g(x)+u'(x)$ dieselbe Argumentation.
Wenn du das noch "schön" aufschreibst, ist das perfekt so
Haste denn bei (c) schon die Darstellungen für g und u ermittelt?
Viele Grüße
schachuzipus
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Es ist nicht ganz richtig, anzunehmen, dass es eine zweite Darstellung mit
[mm]f(x)=g(x)+u(x)=g'(x)+u(x)[/mm] gibt. Subtrahiert man nämlich auf beiden Seiten u(x), erhält man sofort g'(x)=g(x) und damit die Eindeutigkeit, ohne überhaupt was bewiesen zu haben.
Falls es eine weitere Zerlegung von f gibt, muss man annehmen, dass sie f(x)=g'(x)+u'(x) heißt und nun beweisen, dass dann
g'=g und u'=u ist.
Beide Funktionen g und u müssen also abgeändert werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mi 30.05.2007 | | Autor: | annklo |
Hi,
also c) hab ich jetzt folgendermaßen gelöst:
f(x)=g(x)+u(x) [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)= [mm] \bruch{1}{2}(\bruch{1}{1+x+x²}+\bruch{1}{1-x+x²})+\bruch{1}{2}(\bruch{1}{1+x+x²}-\bruch{1}{1-x+x²})=\bruch{1}{2(1+x+x²)}+\bruch{1}{2(1-x+x²)}+\bruch{1}{2(1+x+x²)}-\bruch{1}{2(1-x+x²)}=\bruch{2}{2(1+x+x²)}=\bruch{1}{1+x+x²}
[/mm]
Es kommt also f(x) raus- reciht das wie ich das ausgeschrieben hab oder ist das falsch?
zu b) Ich soll also erst
(I) f(x)=g(x)+u(x)
(II) f(-x)=g(-x)+u(-x)=g(x)-u(x)
I und II addieren (für g) dann subrahieren (für u) und dann noch mal das selbe für
(I) f(x)=g'(x)+u'(x)
(II) f(-x)=g'(-x)+u'(-x)=g'(x)-u'(x)
aber das ist das ist doch haargenau das selbe also kommt auch dasselbe raus-hab ich irgendetwas falsch verstanden?
oder ist es so einfach?
Weiß nicht,ob ich euch shcon richtig verstanden hab
Danke für die große Anteilnahme
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Hallo annklo,
kurz zur Anmerkung zu (b) von HJK oben.
Da ist was dran
Ändert aber nix am Verfahren, nimm dir 2 Darstellungen von f als Summe einer geraden und einer ungeraden Fkt:
f(x)=g(x)+u(x) und f(x)=g'(x)+u'(x)
Dann wieder f(-x) bilden - addieren bzw subtrahieren usw
Nun zu (c)
Also das stimmt noch nicht - glaube da hakt es noch am Verständnis, was zu tun ist
Also du hast oben in (a) die Formel, mit der sich [mm] \underline{jede} [/mm] reelle Funktion f eindeutig (nach (b)) als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion darstellen lässt, dh. zu jeder reellen Funktion f gibt es genau eine gerade Funktion g und genau eine ungerade Funktion u, so dass man f schreiben kann als g+u
Nun sollst du zu [mm] f(x)=\frac{1}{1+x+x^2} [/mm] genau diese eindeutigen Funktionen u und g angeben - sprich mit der Formel oben berechnen.
Dazu einfach einsetzen:
zuerst für g:
Nach der Formel ist [mm] g(x)=\frac{1}{2}(f(x)+f(-x))
[/mm]
Also mit dem konkreten f hier: [mm] g(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+x+x^2}-\frac{1}{1+(-x)+(-x)^2}\right)=.....
[/mm]
Für u(x) mit der anderen Formel.
Das liefert dir die eindeutigen Funktionen g und u, mit denen man f als g+u darstellen kann.
OK?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Mi 30.05.2007 | | Autor: | annklo |
kleine zwischenverständnisfrage:
Wie komm ich von f(-x)=g(-x)+u(-x) auf g(x)-u(x)?? geht das mit g' und u' genauso?
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Hi,
> kleine zwischenverständnisfrage:
> Wie komm ich von f(-x)=g(-x)+u(-x) auf g(x)-u(x)?? geht
> das mit g' und u' genauso? jo
>
g und g' sind gerade, u und u' ungerade, also:
f(x)=g(x)+u(x)=g'(x)+u'(x)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(-x)=g(-x)+u(-x)=g'(-x)+u'(-x)
[mm] \gdw [/mm] f(-x)=g(x)-u(x)=g'(x)-u'(x)
Dann wie gehabt die oberste und unterste Gleichung addieren/subtrahieren...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:33 Mi 30.05.2007 | | Autor: | annklo |
$ [mm] g(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+x+x^2}-\frac{1}{1+(-x)+(-x)^2}\right)=..... [/mm] $
warum das minus? die funktion g(x) lautet doch $ [mm] g(x)=\frac{1}{2}(f(x)+f(-x)) [/mm] $
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> [mm]g(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+x+x^2}-\frac{1}{1+(-x)+(-x)^2}\right)=.....[/mm]
> warum das minus? die funktion g(x) lautet doch
> [mm]g(x)=\frac{1}{2}(f(x)+f(-x))[/mm]
>
Hast Recht, muss natürlich [mm] \red{+} [/mm] sein
vertippelt ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
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> Jede Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] lässt sich auf genau eine Art
> als Summe einer geraden Funktion g: [mm]\IR \to \IR[/mm] und einer
> ungeraden Funktion u: [mm]\IR \to \IR[/mm] darstellen. Dabei ist
> [mm]g(x)=\bruch{1}{2}(f(x)+f(-x)), u(x)=\bruch{1}{2}(f(x)-f(-x))[/mm]
>
> a) Zeigen Sie: g ist eine gerade, u eine ungerade
> Funktion.
> b) Zeigen Sie die Eindeutigkeit der Darstellung?
> c) Stellen Sie [mm]f:\IR \to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=\bruch{1}{1+x+x²}[/mm]
> als f=g+u dar.
a) Bereits gelöst. Außerdem gilt: f(x)=g(x)+u(x).
b) Die Eindeutigkeit zeigt man nun so:
sei f(x)=g(x)+u(x) mit geradem g und ungeradem u. Dann gilt:
f(-x)=g(-x)+u(-x) = g(x)-u(x), da g gerade und u ungerade.
Nun haben wir das Gleichungssystem
f(x)=g(x)+u(x) und
f(-x)=g(x)-u(x) mit den Unbekannten g und u.
Addition beider Gleichungen gibt
f(x)+f(-x)=2 g(x) [mm] \Rightarrow [/mm] (f(x)+f(-x))/2= g(x) und
Subtraktion beider Gleichungen gibt
f(x)-f(-x)=2 u(x) [mm] \Rightarrow [/mm] (f(x)-f(-x))/2= u(x).
Man erhält also nur diese Lösung, eine andere kann es somit nicht geben [mm] \Rightarrow [/mm] Eindeutigkeit.
c) Du musst jetzt nur noch das tun, was angegeben ist:
g(x)= (f(x)+f(-x))/2 = [mm](\bruch{1}{1+x+x²}+\bruch{1}{1-x+x²})/2[/mm] und
u(x)= (f(x)-f(-x))/2 = [mm](\bruch{1}{1+x+x²}-\bruch{1}{1-x+x²})/2[/mm].
In wieweit du das noch zusammenfassen willst, ist dann deine Sache. Da die Nenner nie 0 werden können, gibt es hier zum Glück keine Probleme...
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