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| Aufgabe | | Zeige für [mm] $f\in L^1[0,1]$, [/mm] dass [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x+\frac{k}{n})=\int_0^1 [/mm] f(s)ds. |
Als Hinweis steht, dass man [mm] $f_n(j)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x+\frac{k}{n})$ [/mm] definieren soll und dann zeigen soll, dass [mm] $\hat f_n(j)=0$ [/mm] für [mm] $j\not=0$ [/mm] ist. Ich erhalte [mm] $\hat f_n(j)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{2\pi i j k/n} \hat [/mm] f(j)$. Aber ich sehe nicht, dass dies nun null ist. Kann mir da jemand weiter helfen? Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Mo 20.06.2016 | | Autor: | andyv |
Hallo,
beachte, dass $ [mm] \sum_{k=0}^{n-1}(e^{2\pi i j /n})^k=0 [/mm] $ gilt, falls [mm] $j\notin n\mathbb{Z}$ [/mm] (Summenformel für geometrische Reihe).
Gruß
Andy
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Danke! Aber das gilt ja dann nicht für alle [mm] $j\not=0$, [/mm] oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mi 22.06.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:29 Di 21.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Zeige für [mm]f\in L^1[0,1][/mm], dass
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x+\frac{k}{n})=\int_0^1[/mm] f(s)ds.
Was ist das denn ??? Auf der linken Seite der obigen Gleichung steckt noch ein x drin, rechts nicht !??
> Als Hinweis steht, dass man
> [mm]f_n(j)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x+\frac{k}{n})[/mm]
> definieren soll
Was ist das denn ??? Auf der linken Seite dieser Gleichung kommt j vor, x aber nicht. Rechts kommt x vor, j aber nicht ?!
FRED
> und dann zeigen soll, dass [mm]\hat f_n(j)=0[/mm]
> für [mm]j\not=0[/mm] ist. Ich erhalte [mm]\hat f_n(j)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{2\pi i j k/n} \hat f(j)[/mm].
> Aber ich sehe nicht, dass dies nun null ist. Kann mir da
> jemand weiter helfen? Danke!
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Habe nochmal nachgeschaut, die Aufgabe ist genau so formuliert. $f$ kann man sich ja als 1-periodisch fortgesetzt denken und die Konvergenz ist in [mm] $L^1[0,1]$ [/mm] zu verstehen.
Beim zweiten hab ich leider einen Tippfehler, das soll natürlich [mm] $f_n(x)$ [/mm] heißen.
Mich verwirrt die Aufgabe auch, aber der Prof. meinte, dass diese ganz leicht zu lösen sei..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Do 23.06.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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