Summe einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie die Summe [mm] x+\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{3}}{3}+\bruch{x^{4}}{4}+.........\bruch{x^{n}}{n}+......... [/mm] im Konvergenzberiech. Welchen Wert hat die Summe für x= 1 - [mm] \bruch{1}{e} [/mm] und x= 1 + [mm] \bruch{1}{e} [/mm] |
Ich weiss nicht recht wie ich die Summe berechnen soll...
Ich habe den Konvergenzradius ausgerechnet und weiss das sie für das intervall [-1,1) konvergiert.
so ich weiss auch das die Reihe die ableitung der Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^{n} [/mm] ist, hierbei habe ich den startindek um eine stelle verschoben und das diese sich widerrum durch die Funktion [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] darstellen lässt, nun wollt ich halte den ansatz machen das man diese funktion = das integral von der ausganzreihe ist und dann integrieren, aber dann erhalte ich ja nicht die Summe und ausserdem müsste ich doch dann ein uneigentliches interal bilden.....
steh auf dem schlauch....wäre nett wenn mir jmand helfen könnte:)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Di 27.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast - wenn auch falsch beschrieben- die richtige Idee.
deine Reihe ist, -wo sie konvergiert- das integral der geom. Reihe. d.h. du kannst einfach die fkt 1/(1-z) integrieren bis von 0 bis x das ist nicht uneigentlich!
Da die Ausgangsreihe fuer x=1 die harmonische Reihe ist, solltest du wissen was fuer [mm] x\ge1 [/mm] rauskommt.
Gruss leduart
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hmm...kannste das vielleicht ein wenig mehr ausführen:)?
ich verstehe nicht wie das von 0 bis x sein soll, und wo erhalte ich die einzelnen Summen für die x werte der Reihe??...
ich verstehe den zusammenhang zwischen summe und integral nicht:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Di 27.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei f(x) = $ [mm] x+\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{3}}{3}+\bruch{x^{4}}{4}+.........\bruch{x^{n}}{n}+......... [/mm] $
für |x|<1 ( [-1,1] ist übrigends falsch, die Reihe ist für x=1 divergent, für x=-1 ist sie nach Leibniz konvergent)
Dann: f'(x) = [mm] \summe_{i=0}^{\infty}x^i [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] (|x|<1)
Somit: $f(x) = [mm] \integral_{}^{}{f'(x) dx} [/mm] +C = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1-x}dx} [/mm] +C =- ln(1-x) +C$
Wegen f(0) = 0 ist C= 0
FRED
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