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Forum "Sonstiges" - Summation ungerader Zahlen
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Summation ungerader Zahlen: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 Fr 05.11.2010
Autor: Platoniker

Hallo,

Neulich habe ich neben einen Induktionsbeweis, auch einen anderen Beweis für [mm] $1+3+5+...+2n-1={{n}^{2}}$ [/mm] gesehen, der sich im Anhang befindet.
Nun habe ich probiert ungerade Zahlen nicht als 2n-1 sondern 2n+1 zu beschreiben.
Doch leider komme ich im Moment nicht auf das gewünschte Ergebnis.
Ich wäre sehr dankbar, wenn ihr mir zeigen könntet welchen Fehler ich andauernd mache, sodass ich auf [mm] n^2+n [/mm] komme.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hinweis: der Strich beim letzten Gleichheitszeichen ist unbeabsichtigt!

Danke sehr



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Summation ungerader Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Fr 05.11.2010
Autor: ullim

Hi,

ich bin mir nicht sicher ob das meinst.

[mm] \summe_{n=1}^{N}(2n-1)=2*\summe_{n=1}^{N}n-N=2*\br{N*(N+1)}{2}-N=N^2 [/mm] und

[mm] \summe_{n=0}^{N-1}(2n+1)=2*\summe_{n=0}^{N-1}n+N=2*\br{(N-1)*N}{2}+N=N^2 [/mm]

Bezug
                
Bezug
Summation ungerader Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:37 Fr 05.11.2010
Autor: Platoniker

Danke für diesen Beweis der Behauptung!

Ich komme jedoch mit der im Bild vorgeführten Methode, wenn ich wie im Beweis von ullim einmal 2n-1 und einmal 2n+1 verwende, nicht zum selben Ergebnis.
Was mache ich falsch?

Danke für die Unterstützung

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Bezug
Summation ungerader Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 Fr 05.11.2010
Autor: leduart

Hallo
1 +    3  +  5  .............+2n+1=s
2n+1 +2n-1 +2n-1.............+ 1  =s
-----------------------------------
2n+2 +2n+2 +-----------------+2n+2=2s
[mm] 2s=(2n+2)*(n+1)=2(n+1)*(n+1)=2(n+1)^2 [/mm]

[mm] s=(n+1)^2 [/mm]
meinst du das?


Bezug
                                
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Summation ungerader Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:07 Fr 05.11.2010
Autor: Platoniker

Hallo,

Warum multiplizierst du mit n+1 und nicht mit n?
Ich hoffe ihr könnt mir noch helfen, mit der Methode des Bildes zu beweisen, dass es mit n+1 ebenfalls [mm] n^2 [/mm] ergibt.

Danke

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Summation ungerader Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:10 Fr 05.11.2010
Autor: MathePower

Hallo Platoniker,

> Hallo,
>  
> Warum multiplizierst du mit n+1 und nicht mit n?
> Ich hoffe ihr könnt mir noch helfen, mit der Methode des
> Bildes zu beweisen, dass es mit n+1 ebenfalls [mm]n^2[/mm] ergibt.

Nun, die ungeraden Zahlen sind in der Form 2k+1 geschrieben worden.

Für k=0 ergibt sich die 1, für k=n ergibt sich 2n+1,
d.h von k=0 bis k=n sind es n+1 Summanden.


>  
> Danke  


Gruss
MathePower

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Summation ungerader Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:18 Fr 05.11.2010
Autor: Platoniker

Hallo,

[mm] \[{{\left( n+1 \right)}^{2}}\] [/mm] erbgibt jedoch auch nicht [mm] n^2, [/mm] was ich beweisen soll. Wie komme ich mit leduarts Ergebnis zu [mm] n^2? [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Summation ungerader Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:25 Fr 05.11.2010
Autor: MathePower

Hallo Platoniker,

> Hallo,
>  
> [mm]\[{{\left( n+1 \right)}^{2}}\][/mm] erbgibt jedoch auch nicht
> [mm]n^2,[/mm] was ich beweisen soll. Wie komme ich mit leduarts
> Ergebnis zu [mm]n^2?[/mm]  


Nun, dann musst Du die ungeraden Zahlen von 1 bis 2*(n-1)+1 addieren.


Gruss
MathePower

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Summation ungerader Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:14 Sa 06.11.2010
Autor: Platoniker

Danke an alle für die Hilfe!
Mein Problem ist gelöst!

Schöne Grüße

Platoniker

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Summation ungerader Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Fr 05.11.2010
Autor: MontBlanc

Hallo,

um nochmal eine alternative form des beweises aufzuzeigen:

Du kannst mit differenzengleichungen argumentieren.

Sei [mm] S_{n}=1+3+5+...,(2n-1) [/mm] dann ist [mm] S_{n+1}=1+3+5+...+(2n+1), [/mm] also ist

[mm] S_{n+1}-S_{n}=2n+1 [/mm]

Das charakterisitsche polynom ist dann [mm] \lambda-1=0 \Rightarrow \lambda=1 [/mm]

Die lösung der homogenen differenzengleichung ist also [mm] S_{n}=A*(1)^{n} [/mm]

Setzen wir jetzt S(0)=0, S(1)=1 [mm] \Rightarrow [/mm] A=0

Nun brauchen wir noch die lösung der heterogenen Differenzengleichung. Hierzu wähle den ansatz [mm] S_{n}=an^2+bn+c. [/mm] Dann ist

[mm] S_{n+1}-S_{n}=an^2+2an+a+bn+b+c-an^2-bn-c=2an+a+b=2n+1 [/mm]

JEtzt koeffizientenvergleich:

2a=2 [mm] \Rightarrow [/mm] a=1

a+b=1 [mm] \Rightarrow [/mm] b=0

also ist [mm] S_{n}=n^2 [/mm]

Das sollte auch für [mm] S_{n}=1+3+5+...+(2n+1) [/mm] funktionieren.

LG


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Summation ungerader Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:05 Fr 05.11.2010
Autor: ms2008de

Hallo,
> Hallo,
>
> Neulich habe ich neben einen Induktionsbeweis, auch einen
> anderen Beweis für [mm]1+3+5+...+2n-1={{n}^{2}}[/mm] gesehen, der
> sich im Anhang befindet.

Am anschaulichsten find ich persönlich ja: Sich ein kariertes Blatt Papier nehmen und mal um 1 Kästchen 3 weitere herumzeichnen und so weiter...

Viele Grüße

Bezug
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