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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Di 17.01.2006 | | Autor: | outkast |
| Aufgabe | Berechne das Polynom 5. Grades mit reellen Koeffizienten und den Nullstellen
1-i
-3+2i
und -2
das an der Stelle z=1 den Wert 30 annimmt. |
mein Frage:
kann ich die Aufgabe mit folgendem Ansatz lösen?
1. 0 = a* [mm] x^{5} [/mm] + b* [mm] x^{4} [/mm] + c* [mm] x^{3} [/mm] +d* [mm] x^{2} [/mm] +e*x + f
2. 30 = a+b+c+d+e+f
mein Problem, wenn ich die Nullstellen in die Funktion einsetze, habe ich 6 Unbekannte Koeffizienten und nur 4 Gleichungen
Wie komme ich aufs richtige Polynom?
Mfg Outkast
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Di 17.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Jürgen,
wenn das polynom reelle Koeffizienten haben soll, dann gilt doch, dass mit einer komplexen Nullstelle z immer auch [mm] \overline{z} [/mm] (also die konjugiert komplexe Zahl) eine Nullstelle ist. Somit kann ich zu den 3 gegebenen Nullstellen noch 2 weitere finden und habe dann 5 Nullstellen.
Damit kann ich das Polynom bis auf einen konstanten Faktor ja als Produkt von Linearfaktoren einfach hinschreiben, die konstante bestimme ich zum Schluß über p(1) = 30.
Alles klar?
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 Di 17.01.2006 | | Autor: | outkast |
Danke für den hilfreichen Tip.
Als Lösung habe ich
p(x)= (0,5* [mm] x^{5} [/mm] ) + (3* [mm] x^{4}) [/mm] + (5,5* [mm] x^{3} [/mm] )-( 4* [mm] x^2 [/mm] )- x + 26
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