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Hallo,
ich suche eine Metrik auf der Menge [mm] X:=(-\pi/2, \pi/2), [/mm] so dass (X,d) vollständig ist. Dabei soll sie die selben offenen Mengen wie die übliche Metrik erzeugen.
Kann mir einer weiterhelfen?
Gruß
MM
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 So 05.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> ich suche eine Metrik auf der Menge [mm]X:=(-\pi/2, \pi/2),[/mm] so
> dass (X,d) vollständig ist. Dabei soll sie die selben
> offenen Mengen wie die übliche Metrik erzeugen.
Bei den Grenzen sollten doch mal die Alarmglocken klingeln! Ziehe dann einfach mal die Metrik mit dieser hin (zurück?). Das Problem an dem Intervall sind ja vor allem die Grenzen, sprich: je weiter du an den and gehst, desto größer muss der Abstand zwischen einzelnen Punkten werden.
SEcki
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Also es muss ja ne Metrik sein, in der alle Cauchyfolgen konvergieren.
Die Grenzen erinnern stark an irgendwas mit tangens, nur tan(x) z.B. divergiert ja.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 So 05.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> Die Grenzen erinnern stark an irgendwas mit tangens, nur
> tan(x) z.B. divergiert ja.
Ja - und? Oder viel mehr: ist doch gut. Die Grenzen selber sind ja nicht drin, und die x-Werte geg. die Grenzen werden immer größer. Kannst du mit Tangens jetzt einfach einen Ansatz machen? Kannst du zeigen, daß a) das dann vollständig ist und b) die gleichen offenen Mengen erzeugt?
(Eigtl ist die Aufgabe trvial, da der Tangens bijektiv das Intervall auf ganz [m]\IR[/m] abbildet, und mit dem Arcustangens eine stetige Umkehrung hat - also sind die homöomorph bzgl. der Standardtopologie, und damit kann man beide Tatsachen von [m]\IR[/m] auf das Intervall übertragen.)
SEcki
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Hallo,
also wenn der tan(x) gegen [mm] \pi/2 [/mm] konvergiert muss ich eine Metrik finden bezüglich der die Folge keine Cauchyfolge ist, also quasi die Kontraposition zeigen, oder?
*edit*
Quatsch, tan(x) divergiert, sorry. Was ist mit arctan(x)? Das konvergiert ja gegen [mm] \pi/2
[/mm]
Kann ich nicht sowas nehmen:
d(x,y)=|(tan(x)*tan(y))/tan(x)|=|tan(y)| --> [mm] \infty
[/mm]
Zu b) hab ich nich keine Idee.
Gruß
MM
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 So 05.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> d(x,y)=|(tan(x)*tan(y))/tan(x)|=|tan(y)| --> [mm]\infty[/mm]
Das ist keine Metrik. Probier mal [m]|\tan(x)-\tan(y)|[/m] ...
SEcki
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Ok, sie erzeugt die selben offenen Mengen, da [mm] d_{1}=d_{2}*f [/mm] mit f(x)=tan(x), aber woran seh ich, dass die Metrik vollständig ist, also wie weise ich nach, dass jede Cauchyfolge auch konvergiert bzw. per Kontraposition, dass es eine Folge gibt, die gegen einen Wert außerhalb von X konvergiert aber keine Cauchyfolge ist?
Kannst du mir nur einmal erklären, wie ich da rangehen soll?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mo 06.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> Ok, sie erzeugt die selben offenen Mengen, da [mm]d_{1}=d_{2}*f[/mm]
> mit f(x)=tan(x),
"da" - das müsste man kurz begründen - am besten mit der Stetigkeit von [m]\tan[/m] und der Stetigkeit der Umekhrung.
> aber woran seh ich, dass die Metrik
> vollständig ist, also wie weise ich nach, dass jede
> Cauchyfolge auch konvergiert
Zeige doch einfach: wenn es eine Cauchyfolge ist, dann gehen die Punkte nicht gegn den Rand. Also: was war vorher das Problem? Der Rand. Kann jetzt eine Folge die geg. den Rand konvergiert, eine Cauchyfolge in der Metrik sein? (Wohl nicht ...). Im Inneren: nehme mal eine Cauchyfolge mit der neuen Metrik, dann liegen die Folgen irgendwann mal in eine Epsilon-Umgebbung ganz drinnen, dann kannst du das zurückziehen.
SEcki
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tan(x) und arctan(x) sind stetig.
Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchyfolge in X bezgl. der Metrik, d.h. [mm] tan(x_n) [/mm] ist eine Cauchyfolge in R, denn eine stetige Abbildung bildet eine Cauchyfolge auf eine Cauchyfolge ab und tan(x) bildet [mm] (-\pi/2; \pi/2) [/mm] bijektiv auf [mm] \IR [/mm] ab.
Da R vollständig ist bezüglich der Standardmetrik, konvergiert sie in [mm] \IR, [/mm] gegen einen Wert, den ich z nenne. x:= arctan(z) liegt in [mm] (-\pi/2; \pi/2). [/mm]
Der arctan(x) ist ebenfalls stetig, d.h. [mm] x_n=arctan(tan(xn)) [/mm] konvergiert dann gegen arctan(z) aus (-pi/2;pi/2)). Somit konvergieren alle Cauchyfolgen gegen einen Grenzwert in meiner Menge.
Gruß
MM
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Di 07.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ja, der Beweis ist so korrekt. 
Das Problem ist im Übrigen sozusagen "dual" (das passt hier nicht ganz, es ist aber klar, was ich meine, hoffe ich  ) zu dem Problem auf [mm] $\IR$ [/mm] eine Metrik zu finden, die die gleiche Topologie wie die übliche erzeugt und dennoch nicht vollständig ist!!
(Wodurch man sieht, dass Vollständigkeit in metrischen Räumen keine topologische Invariante ist, sondern eine Eigenschaft der Metrik selbst ist, die die Topologie erzeugt.)
Nach der Aufgabe ist ja jetzt klar, wie man sich diese Metrik zu basteln hat, nämlich gemäß
$d(x,y) = [mm] |\arctan(x) [/mm] - [mm] \arctan(y)|$.
[/mm]
Dann ist jede Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit dem uneigentlichen Grenzwert [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} x_n=+\infty$ [/mm] eine Cauchy-Folge in [mm] $(\IR,d)$, [/mm] die bezüglich $d$ in [mm] $\IR$ [/mm] nicht konvergiert!
Vieel Grüße
Julius
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Hallo,
ich brauch leider immer noch Hilfe bei der Aufgabe, der Nachweis der Vollständigkeit macht mich verrückt.
Gruß
MM
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