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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Mi 08.10.2008 | | Autor: | Docy |
| Aufgabe | | [mm] u'=u\*(1-u)+t [/mm] |
Hallo alle zusammen,
kann mir hier jemand helfen, ich weiss überhaupt nicht, wie ich hierzu die Lösunung finde. Ausserdem soll man hier mit Picard-Lindelöf die Existenz und Eindeutigkeit prüfen.
Zur L-stetigkeit habe ich mir folgendes überlegt:
[mm] |f(t,u)-f(t,v)|\le|u-u^2-v+v^2|\le|u-v|\*|1-(u+v)|
[/mm]
Weiter weiss ich leider nicht. Kann man argumentieren, dass wenn u und v aus einem kompakten Intervall sind, dann nehmen sie ein Minimum an, und dann hätte man ja eine L Konstante: L=|1-t|, t=min{u+v}. Und wie kann ich hier auf ein Existenzintervall schließen???
Brauche dringend Hilfe.
Danke im Vorraus
Docy
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Gar nicht schlecht. Es ist doch alles auf gutem Weg:
Besser |f(t,u)-f(t,v)|<= (1+|u|+|v|) |u-v|.
Nun wegen der Anfangswerte |u-y0|<=c. Dasselbe für v.
Damit ||u|,|v|<=c+|y0|. Also tut es jedes L=> 1 + 2(c+|y0|).
Das wäre existenz und Eindeutigkeit lokal. Global
schließt man mit Fortsetzung dieses Argumentes.
Zur Lösung: Man bemühe Lösungsformel für DGL
der Form y' (t)= g(y(t)) + h(t). Oder zu Fuß erst
homogene Gl. y' (t)= [mm] y(t)-y(t)^2 [/mm] . Mit Trennung der
Variablen: [mm] dy/(y-y^2)= [/mm] dt liefert log(y/y-1) = t und
y [mm] (e^t-1) [/mm] = [mm] e^t [/mm] und somit für die homogene
Gleichung y = C [mm] e^t/(e^t-1). [/mm] Der Rest mit Variation der
Konstanten (findet man in jedem DGL Buch). C = C(t)
nehmen und einsetzen. Das liefert eine DDL für C.
Hoffentlich habe ich mich jetzt so schnell nicht verrechnet.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:57 Mi 08.10.2008 | | Autor: | Docy |
Hallo schlunzbuns1,
ich verstehe leider das hier nicht:
Nun wegen der Anfangswerte |u-y0|<=c
Kannst du mir das bitte noch erklären.
Danke
Docy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 Do 09.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Docy
Kannst du bitte die ganze Aufgabe, wie gestellt posten? So wie sie da steht kann man mit PL gar nichts machen! Eindeutige Loesungen hat ne Dgl. nur zu gegebenen Anfangsbedingungen!
Ist ueberhaupt ne explizite Loesung gefragt?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:28 Do 09.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Gar nicht schlecht. Es ist doch alles auf gutem Weg:
> Besser |f(t,u)-f(t,v)|<= (1+|u|+|v|) |u-v|.
> Nun wegen der Anfangswerte |u-y0|<=c. Dasselbe für v.
> Damit ||u|,|v|<=c+|y0|. Also tut es jedes L=> 1 +
> 2(c+|y0|).
> Das wäre existenz und Eindeutigkeit lokal. Global
> schließt man mit Fortsetzung dieses Argumentes.
>
> Zur Lösung: Man bemühe Lösungsformel für DGL
> der Form y' (t)= g(y(t)) + h(t). Oder zu Fuß erst
> homogene Gl. y' (t)= [mm]y(t)-y(t)^2[/mm] . Mit Trennung der
> Variablen: [mm]dy/(y-y^2)=[/mm] dt liefert log(y/y-1) = t und
> y [mm](e^t-1)[/mm] = [mm]e^t[/mm] und somit für die homogene
> Gleichung y = C [mm]e^t/(e^t-1).[/mm] Der Rest mit Variation der
> Konstanten (findet man in jedem DGL Buch). C = C(t)
> nehmen und einsetzen. Das liefert eine DDL für C.
> Hoffentlich habe ich mich jetzt so schnell nicht
> verrechnet.
Hallo schlunzbuns,
nicht böse sein, aber was Du schreibst ist völliger Blödsinn.
Du redest von "homogener Gleichung" und "Variation der Konstanten", ......
Das ist hier aber sinnlos (und falsch), denn
die vorgelegte DGL ist nicht linear !!!!!!
FRED
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Lieber Fred,
Du hast natürlich völlig recht.
Nichtlinear ist sie.
Genauer wie ich leider zu
spät gemerkt habe eine
Ricatti DGL.
Darüber findet man überall was.
Sorry, irren ist menschlich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Do 09.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> [mm]u'=u\*(1-u)+t[/mm]
> Hallo alle zusammen,
> kann mir hier jemand helfen, ich weiss überhaupt nicht, wie
> ich hierzu die Lösunung finde. Ausserdem soll man hier mit
> Picard-Lindelöf die Existenz und Eindeutigkeit prüfen.
Beim Satz von Picard-Lindelöf dreht es sich um Anfangswertprobleme.
Ohne eine Anfangsbedingung wird Dir also keiner helfen können.
FRED
> Zur L-stetigkeit habe ich mir folgendes überlegt:
> [mm]|f(t,u)-f(t,v)|\le|u-u^2-v+v^2|\le|u-v|\*|1-(u+v)|[/mm]
> Weiter weiss ich leider nicht. Kann man argumentieren,
> dass wenn u und v aus einem kompakten Intervall sind, dann
> nehmen sie ein Minimum an, und dann hätte man ja eine L
> Konstante: L=|1-t|, t=min{u+v}. Und wie kann ich hier auf
> ein Existenzintervall schließen???
> Brauche dringend Hilfe.
>
> Danke im Vorraus
> Docy
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Man betrachte f(t,u) = [mm] u-u^2 [/mm] + t. Diese Funktion ist
stetig partiell diffbar in der zweiten Variablen.
Der MWS der Diffrechnung liefert dann, dass f
lokal einer Lipschitzbedingung genügt.
Also hat jedes AWP der Form u'(t) = f(t,u(t)), [mm] u(t_0) [/mm] = [mm] u_0
[/mm]
genau eine Lösung. Diese hängt natürlich von [mm] u_0 [/mm] ab.
Die Differentialgleichung selbst ist ein Spezialfall
der Ricattischen Differentialgleichung, die ein sehr
prominenter Vertreter ist (Kontrolltheorie).
Allgemein y' + P(x) y + Q(x) [mm] y^2 [/mm] = R(x)
Hier gilt: P = -1, Q = 1, R = x.
Der Fall R = 0 liefert die Bernoullische
DGL.
Ich verweise hier auf reichlich vorhandene Literatur.
Auf die Lösung selber zu kommen ist natürlich
hart. Das sei zum Trost gesagt.
Grüße Schlunzbuns
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