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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Mi 11.11.2009 | | Autor: | LariC |
| Aufgabe | Hallo, ich wüsste gerne ob mein Ansdatz für diese Aufgabe korrekt ist:
Eine Folge an erfüllt folgened Bedingung:
Für alle peN : lim (a n+p -a n )=0
Jetzt ist gefragt, ob hieraus folgt, dass an konvergiert ist.
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Mir ist mittlerweile klar, dass es nicht daraus folgt, da ich einiges über cauchy-Folgen und (weiß nicht ob ich das hier btrauche) über die geometrische Reihe und Partialsummen gelsen habe, aber irgenwie komme ich absolut nicht auf die Idee eines guten Gegenbesipiels...
Ich könnte doch einfach die konvergenzte Folge [mm] (-1)^n [/mm] nehmen
Wen ich nämlich z.B ein gerades p, würde sich ja bei [mm] (-1)^n+p [/mm] - [mm] (-1)^n [/mm] = 0 ergeben. Aber sobald das ungerade ist gilt es leider nicht mehr!
Reicht das Geegenbeispiel, geht das überhaupt - gibt es ein besseres?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.chemieonline.de/forum/showthread.php?t=146017&page=2
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Mi 11.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich wüsste gerne ob mein Ansdatz für diese Aufgabe
> korrekt ist:
> Eine Folge an erfüllt folgened Bedingung:
>
> Für alle peN : lim (a n+p -a n )=0
Lesbar:Für alle p [mm] \in \IN [/mm] : lim [mm] (a_{n+p} -a_n [/mm] )=0
>
> Jetzt ist gefragt, ob hieraus folgt, dass an konvergiert
> ist.
>
> Mir ist mittlerweile klar, dass es nicht daraus folgt, da
> ich einiges über cauchy-Folgen und (weiß nicht ob ich das
> hier btrauche) über die geometrische Reihe und
> Partialsummen gelsen habe, aber irgenwie komme ich absolut
> nicht auf die Idee eines guten Gegenbesipiels...
>
> Ich könnte doch einfach die konvergenzte Folge [mm](-1)^n[/mm]
> nehmen
>
> Wen ich nämlich z.B ein gerades p, würde sich ja bei
> [mm](-1)^n+p[/mm] - [mm](-1)^n[/mm] = 0 ergeben. Aber sobald das ungerade
> ist gilt es leider nicht mehr!
> Reicht das Geegenbeispiel, geht das überhaupt
Nein. für ungerades p ist [mm] |a_{n+p}-a_n| [/mm] =2
- gibt es
> ein besseres?
ja! Sei [mm] $a_n [/mm] = [mm] 1+\bruch{1}{2}+ [/mm] ... [mm] +\bruch{1}{n}$
[/mm]
[mm] (a_n) [/mm] ist die Teilsummenfolge der harmonischen Reihe, also ist [mm] (a_n) [/mm] divergent.
Für p [mm] \in \IN [/mm] ist
[mm] $|a_{n+p}-a_n| [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+2}+ [/mm] ... [mm] +\bruch{1}{n+p}$
[/mm]
Jeder Summand oben auf der rechten Seite ist [mm] \le \bruch{1}{n}, [/mm] somit:
[mm] $|a_{n+p}-a_n|\le \bruch{p}{n}$
[/mm]
Für festes p ist also [mm] (a_{n+p}-a_n) [/mm] eine Nullfolge, aber [mm] (a_n) [/mm] ist divergent.
FRED
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.chemieonline.de/forum/showthread.php?t=146017&page=2
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mi 11.11.2009 | | Autor: | LariC |
Erstmal vielen, vielen dank für die schnelle Antwort!
Jetzt habe ich aber noch einige Fragen:
Als erstes, warum ist dein an denn divergent. Je größer die n werden, desto größer wird die Summe doch letztendlich, da immer noch ein kleiner Teil dazukommt?!
Irgendwie verstehe ich das noch nicht so...
Und wie kommst du darauf, dass
>
> [mm]|a_{n+p}-a_n|\le \bruch{p}{n}[/mm]
>
> Für festes p ist also [mm](a_{n+p}-a_n)[/mm] eine Nullfolge, aber
> [mm](a_n)[/mm] ist divergent.
Warum sit es dann divergent und wie kommt das p in den Zähler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Mi 11.11.2009 | | Autor: | LariC |
Also ich denke ich habe das mit der konvergenzn und so jetzt soweit sleber kapieret, aber wieso kann man bei dem letzten Schritt das p in den Zähler setzten????
Bitte eine ganz schnelle Antwort - vielen Dank...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 Mi 11.11.2009 | | Autor: | seamus321 |
wenn du dir das mal genau anschaust: [mm] |a_{n+p}-a_n| [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+2}+ [/mm] ... [mm] +\bruch{1}{n+p} [/mm] dann kannst du schreiben das das kleiner ist als [mm] \bruch{1}{n}+\bruch{1}{n}+ [/mm] ... [mm] +\bruch{1}{n} [/mm] das sind genau p Summanden also = [mm] \bruch{p}{n} [/mm]
das ist genau das was Fred geschrieben hat nur ohne den Zwichenschritt!
Angabe wie immer ohne Gewähr 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das folgt daraus, wie fred sagte, dass [mm] \bruch{1}{n+1}, \bruch{1}{n+2}, [/mm] ..., [mm] \bruch{1}{n+p} [/mm] alle kleiner als [mm] \bruch{1}{n} [/mm] sind (da ihr Zähler größer ist).
Also:
[mm] \bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+2}+...+\bruch{1}{n+p}<\underbrace{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n}+...+\bruch{1}{n}}_{p-mal}=\bruch{p}{n}
[/mm]
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 Mi 11.11.2009 | | Autor: | LariC |
Ja klar, ok, jetzt habe ich es kapiert. Super vielen, vielen Dank an euch alle!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Fr 13.11.2009 | | Autor: | LariC |
Eine Frage habe ich jetzt doch noch - ich kanns mir zawr vorstellen, aber ist die Folge an wirklich divergent???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Sa 14.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Eine Frage habe ich jetzt doch noch - ich kanns mir zawr
> vorstellen, aber ist die Folge an wirklich divergent???
![[]](/images/popup.gif) Ja.
LG Felix
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