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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:48 Di 27.05.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Berechne folgende Integrale durch geeignete Substitution:
[mm] 1.\integral_{}^{}{\bruch{e^{x}+1}{e^{x}-1} dx}
[/mm]
[mm] 2.\integral_{}^{}{x*\wurzel{1-x^{2}}dx} [/mm] |
Hallo,
ich komme hierbei nicht weiter. Habe bei 1. folgendermaßen substituiert:
[mm] z=e^{x}+1
[/mm]
x=ln(z-1)
[mm] \bruch{dx}{dz}=\bruch{1}{z-1}
[/mm]
[mm] dx=\bruch{1}{z-1}dz
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{z}{e^{ln(z-1)}-1}*\bruch{dz}{z-1}}
[/mm]
An der Form merke ich, dass es nichts bringt hier weiterzurechnen.
Bei 2. bin ich mir auch nicht sicher, wie ich vorgehen soll.
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Hallo Eugen,
> Berechne folgende Integrale durch geeignete Substitution:
> [mm]1.\integral_{}^{}{\bruch{e^{x}+1}{e^{x}-1} dx}[/mm]
>
> [mm]2.\integral_{}^{}{x*\wurzel{1-x^{2}}dx}[/mm]
> Hallo,
> ich komme hierbei nicht weiter. Habe bei 1. folgendermaßen
> substituiert:
> [mm]z=e^{x}+1[/mm]
> x=ln(z-1)
> [mm]\bruch{dx}{dz}=\bruch{1}{z-1}[/mm]
> [mm]dx=\bruch{1}{z-1}dz[/mm]
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{z}{e^{ln(z-1)}-1}*\bruch{dz}{z-1}}[/mm]
> An der Form merke ich, dass es nichts bringt hier
> weiterzurechnen.
>
> Bei 2. bin ich mir auch nicht sicher, wie ich vorgehen
> soll.
Bei dem ersten Integral forme zunächst mit dem Standardtrick um:
[mm] $\frac{e^x+1}{e^x-1}=\frac{e^x\red{-1+1}+1}{e^x-1}=1+\frac{2}{e^x-1}$
[/mm]
Dann kannst du dein Integral [mm] $\int{\frac{e^x+1}{e^x-1} \ dx}$ [/mm] schreiben als [mm] $\int{1 \ dx}+2\cdot{}\int{\frac{1}{e^x-1} \ dx}$
[/mm]
Nun substituiere [mm] $u:=e^x$ [/mm] ...
Dann ist [mm] $\frac{du}{dx}=e^x\Rightarrow dx=\frac{du}{e^x}=\frac{du}{u}$
[/mm]
Den Rest du ...
Beim zweiten Integral substituiere direkt [mm] $u:=1-x^2$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:36 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo, danke erstmal.
Bei der 1. bin ich nun so vorgegangen:
[mm] \integral_{}^{}{1 dx}+\integral_{}^{}{\bruch{2}{e^{x}-1} dx}
[/mm]
[mm] u:=e^{x}
[/mm]
x=ln(u)
[mm] \bruch{dx}{du}=\bruch{1}{u}
[/mm]
[mm] dx=\bruch{du}{u}
[/mm]
[mm] x+2*\integral_{}^{}{\bruch{du}{(u-1)*u}}=x+2*ln|\bruch{u-1}{u}|
[/mm]
[mm] =x+2*ln|1-\bruch{1}{u}|=x+2*ln|1-\bruch{1}{e^{x}}|
[/mm]
Ist das soweit korrekt?
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Hallo Eugen,
> s.oben
> Hallo, danke erstmal.
> Bei der 1. bin ich nun so vorgegangen:
> [mm]\integral_{}^{}{1 dx}+\integral_{}^{}{\bruch{2}{e^{x}-1} dx}[/mm]
>
> [mm]u:=e^{x}[/mm]
> x=ln(u)
> [mm]\bruch{dx}{du}=\bruch{1}{u}[/mm]
> [mm]dx=\bruch{du}{u}[/mm]
>
> [mm]x+2*\integral_{}^{}{\bruch{du}{(u-1)*u}}=x+2*ln|\bruch{u-1}{u}|[/mm]
> [mm]=x+2*ln|1-\bruch{1}{u}|=x+2*ln|1-\bruch{1}{e^{x}}|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Ist das soweit korrekt?
Ja, sehr schön so! Du kannst es aber noch "nett" zusammenfassen
Es ist ja $1-\frac{1}{e^x}=\frac{e^x-1}{e^x}$, also $2\cdot{}\ln\left(\frac{e^x-1}{e^x\right)=2\cdot{}\left[\ln(e^x-1)-\ln(e^x)\right]=2\ln(e^x-1)-2x$
Also insgesamt....
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:58 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Owen |
Ja, alles klar, vielen Dank.
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