Substitutionsregel < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Do 25.01.2007 | | Autor: | Dunbi |
Bitte einmal auf Logik und Richtigkeit überprüfen...Danke...
Substitutionsregel
Aus der Differenzialrechnung kennen wir die Kettenregel:
F(x)=F(g(x))
z=g(x)
$ [mm] K'(x)=F'(z)\cdot{}g'(x) [/mm] $
Leiten wir nun diese Ableitung auf, erhalten wir:
$ [mm] \integral_{a}^{b}{K'(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{F'(z)\cdot{}g'(x) dx} [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] K(b)-K(a)= [mm] \integral_{a}^{b}{F'(z)\cdot{}g'(x) dx} \Rightarrow [/mm] $ Satz 1
K(x) war ja F(g(x)) und somit gilt:
K(b)-K(a)=F(g(b))-F(g(a))
Dies wäre in anderer Schreibweise folgendes:
$ [mm] \integral_{g(a)}^{g(b)}{F(g(x)) dx}=K(b)-K(a) \Rightarrow [/mm] $ Satz 2
Fasst man nun Satz eins und zwei zusammen, so ergibt sich:
$ [mm] \integral_{g(a)}^{g(b)}{F(g(x)) dx}=\integral_{a}^{b}{F'(z)\cdot{}g'(x) dx} [/mm] $
Was zu beweisen war (Euklid)!
Was sagt ihr dazu? Wäre das volle Punktzahl in einer Abiurklausur im Mathe LK?
Gruß Dunbi
|
|
| |
|
Hallo Dunbi,
> Bitte einmal auf Logik und Richtigkeit
> überprüfen...Danke...
Die Logik ist schon in Ordnung, aber sprachlich kannst du dich noch verbessern.
>
> Substitutionsregel
> Aus der Differenzialrechnung kennen wir die Kettenregel:
> F(x)=F(g(x))
> z=g(x)
> [mm]K'(x)=F'(z)\cdot{}g'(x)[/mm]
Warum benutzt du hier große Buchstaben?
f(g(x)) wäre genau so schön und verwirrt den Leser nicht; bei F denkt man eher an die Stammfunktion von f.
Ich sehe keinen Grund, diese Konvention leichtfertig aufzugeben.
>
> Leiten wir nun diese Ableitung auf, erhalten wir:
> [mm]\integral_{a}^{b}{K'(x) dx} = \integral_{a}^{b}{F'(z)\cdot{}g'(x) dx}[/mm]
Auch wenn man das leicht spaßig im Unterricht verwendet:
man integriert eine Funktion und sonst nichts, wenn man ihre Stammfunktion bestimmt.
>
> [mm]\gdw K(b)-K(a)= \integral_{a}^{b}{F'(z)\cdot{}g'(x) dx} \Rightarrow[/mm]
> Satz 1
>
> K(x) war ja F(g(x)) und somit gilt:
> K(b)-K(a)=F(g(b))-F(g(a))
>
> Dies wäre in anderer Schreibweise folgendes:
> [mm]\integral_{g(a)}^{g(b)}{F(g(x)) dx}=K(b)-K(a) \Rightarrow[/mm]
> Satz 2
>
> Fasst man nun Satz eins und zwei zusammen, so ergibt sich:
> [mm]\integral_{g(a)}^{g(b)}{F(g(x)) dx}=\integral_{a}^{b}{F'(z)\cdot{}g'(x) dx}[/mm]
>
> Was zu beweisen war (Euklid)!
Ich würde mit dem Begriff "Beweis" an dieser Stelle vorsichtig umgehen.
Eigentlich macht man hier Umformungen, um ein Integral leichter lösen zu können:
siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia
>
> Was sagt ihr dazu? Wäre das volle Punktzahl in einer
> Abiurklausur im Mathe LK?
>
Das kommt immer auf die genaue Fragestellung an...
Gruß informix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Dunbi |
Hallo informix,
vielen Dank für deine Antwort. Aber ich habe da noch eine Frage. Du meintest:
> > Leiten wir nun diese Ableitung auf, erhalten wir:
> > [mm]\integral_{a}^{b}{K'(x) dx} = \integral_{a}^{b}{F'(z)\cdot{}g'(x) dx}[/mm]
>
> Auch wenn man das leicht spaßig im Unterricht verwendet:
> man integriert eine Funktion und sonst nichts, wenn man
> ihre Stammfunktion bestimmt.
aber was willst du mir mit diesem Satz sagen? Ist die Schreibweise fehlerhaft?
Gruß, Dunbi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Elph |
Deine Schreibweise ist hier etwas falsch. Du verwendest den Ausdruck "aufleiten" für "eine Stammfunktion bestimmen". Dieser Ausdruck ist aber mathematisch falsch, eigentlich gibt es ihn auch gar nicht.
Verwende also für "eine Stammfunktion bestimmen" am besten immer den Ausdruck "integrieren".
Für "differenzieren" kann man dagegen ohne Probleme auch "ableiten" sagen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Dunbi |
Danke dann an alle...Dunbi
|
|
|
|
