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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Sa 24.04.2010 | | Autor: | kappen |
Huhu, habe gerade bei Wiki unter Generalsubstitution dieses Integral gesehen, das man schnell mit einfacher Substitution lösen können soll:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{2+x^2}dx} [/mm]
Ganz ehrlich - vllt bin ich schon zu lange dran, aber eine einfache Möglichkeit zu substituieren sehe ich da jetzt nicht?! [mm] x^2 [/mm] bringt nix und den gesamten Nenner zu substituieren bringts auch nicht so richtig, da ebenfalls ein t oder so über bleibt?
Und wenn wir grad dabei sind, wie integriere ich etwas in der Form ohne fertige Formel:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1-x^2}dx} [/mm]
Danke & schönen Abend
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Hallo,
> Huhu, habe gerade bei Wiki unter Generalsubstitution dieses
> Integral gesehen, das man schnell mit einfacher
> Substitution lösen können soll:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2}{2+x^2}dx}[/mm]
Die Generalsubstitution ist aber eigentlich für Integrale mit summen von trigonometrischen Funktionen im Nenner, dann lässt du [mm] t=tan\left(\bruch{x}{2}\right) [/mm] und kannst zeigen, dass [mm] sin(x)=\bruch{2t}{1+t^2} [/mm] und [mm] cos(x)=\bruch{1-t^2}{1+t^2} [/mm] sowie [mm] dx=\bruch{2}{1+t^2}dt.
[/mm]
Substituiere hier [mm] x=\wurzel{2}*tan(u)
[/mm]
>
> Ganz ehrlich - vllt bin ich schon zu lange dran, aber eine
> einfache Möglichkeit zu substituieren sehe ich da jetzt
> nicht?! [mm]x^2[/mm] bringt nix und den gesamten Nenner zu
> substituieren bringts auch nicht so richtig, da ebenfalls
> ein t oder so über bleibt?
Substituiere hier [mm] x=\wurzel{2}*tan(u) [/mm] . Das führst das Integral auf [mm] \integral{sec(u) du} [/mm] zurück. das ist einfach zu integrieren.
> Und wenn wir grad dabei sind, wie integriere ich etwas in
> der Form ohne fertige Formel:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1-x^2}dx}[/mm]
3 binomische Formel im Nenner, dann partialbruchzerlegung und summand für summand integrieren.
> Danke & schönen Abend
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Sa 24.04.2010 | | Autor: | kappen |
Okay dankeschön.
es wurde bei dem Beispiel bereits mit tan(x/2) substituiert, um die trigonometrischen Funktionen rauszuwerfen.
Leider kenne ich die sec Funktion (noch) nicht, kam noch nicht dran. Gibts noch andere Möglichkeiten?
Bei der 2. ist ne PBZ gut, okay :)
Dann bin ich wieder nur dran, Formeln zu benutzen für die Integration der einzelnen Summanden :( Finde ich immer etwas unbefriedigend :(
Aber trotzdem vielen Dank!
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Hallo,
das Zeil der Generalsubstitution ist es, das Integral auf ein bekanntest Standard-Integral zurückzuführen, um es dann einfach bestimmen zu könne. Die tan subsitution ist hier mMn der einfachste weg.
Nur weil schon einmal substituiert wurde, heißt es nicht, dass es nicht nochmal nötig ist. Es gibt so "schöne" integral, wo du substituierst, partiell integrierst und partialbruchzerlegungen durchführst, dagegen ist das hier noch lieb und nett !
Lg
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