Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Alpi |
| Aufgabe 1 | Aufgabe
Die folgenden unbestimmten Integrale können in der Form
g(f(x))*f´(x) dx dargestellt werden die Substitution y=f(x) führt dann zu g(f(x))*f´(x) dx= g(y) dy
Lösen Sie:
[mm] \integral_{a}^{b} \bruch{x}{(1+x^2)^n}\, [/mm] dx
|
| Aufgabe 2 | Aufgabe
Die folgenden unbestimmten Integrale können in der Form
g(f(x))*f´(x) dx dargestellt werden die Substitution y=f(x) führt dann zu g(f(x))*f´(x) dx= g(y) dy
Lösen Sie:
[mm] \integral_{a}^{b} x*e^{x^2}\, [/mm] dx |
Bei Aufgabe 1 habe ich nach mehrmaligen rechnen das Ergebnis [mm] \bruch{1}{2(n-1)(1+x^2)^(n-1)} [/mm] raus.
das (n-1) soll hochgesellt sein für die letzte Klammer!
Ich habe aber gehört, dass beim Ergebnis ein Minus vor dem Bruch stehen soll.
Wo liegt mein Fehler?
Dies ist meine Rechnung:
u= [mm] 1+x^2
[/mm]
u´= 2x
[mm] \integral_{}^{} \bruch{x}{u^n} [/mm] * [mm] \bruch{du}{2x}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral_{}{} \bruch{1}{u^n} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{2} [\bruch{1}{(1+x^2)(n-1)}]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*(n-1)(1+x^2)^(n-1)}
[/mm]
Bei Aufgabe 2 finde ich wieder einen Punkt zum einsteigen.
Ich würde ja
u= [mm] x^2 [/mm] wählen, womit
u´= 2x wäre.
Wenn ich das nun anwende bekomme ich
[mm] \integral_{}{} x*e^{x^2}\, [/mm] dx
= [mm] \integral_{}{} [/mm] x [mm] e^u \bruch{du}{2x}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} \integral_{}{} e^u [/mm] du
= [mm] \bruch{1}{2} [e^u]
[/mm]
=?
Wie bilde ich bei Aufgabe 2 die Stammfunktion von [mm] e^{x^2}?
[/mm]
Das müsste in meine Rechnung der letzte Schritt zur Lösung sein.
Könnte mir das vllt jemand ausführlich hinschreiben, damit ich nochmal die Feinheiten der E-Funktionen vor mir habe?
Ich danke euch schonmal vorher.
Mfg Alpi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Alpi und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Aufgabe
> Die folgenden unbestimmten Integrale können in der Form
> g(f(x))*f´(x) dx dargestellt werden die Substitution
> y=f(x) führt dann zu g(f(x))*f´(x) dx= g(y) dy
>
> Lösen Sie:
>
> [mm]\integral_{a}^{b} \bruch{x}{(1+x^2)^n}\,[/mm] dx
>
> Aufgabe
> Die folgenden unbestimmten Integrale können in der Form
> g(f(x))*f´(x) dx dargestellt werden die Substitution
> y=f(x) führt dann zu g(f(x))*f´(x) dx= g(y) dy
>
> Lösen Sie:
>
> [mm]\integral_{a}^{b} x*e^{x^2}\,[/mm] dx
> Bei Aufgabe 1 habe ich nach mehrmaligen rechnen das
> Ergebnis [mm]\bruch{1}{2(n-1)(1+x^2)^(n-1)}[/mm] raus.
>
> das (n-1) soll hochgesellt sein für die letzte Klammer!
>
> Ich habe aber gehört, dass beim Ergebnis ein Minus vor dem
> Bruch stehen soll.
>
> Wo liegt mein Fehler?
>
> Dies ist meine Rechnung:
>
> u= [mm]1+x^2[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
guter Plan!
> u´= 2x
>
> [mm]\integral_{}^{} \bruch{x}{u^n}[/mm] * [mm]\bruch{du}{2x}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\integral_{}{} \bruch{1}{u^n}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2} [\bruch{1}{(1+x^2)(n-1)}][/mm]
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Was ist hier passiert?
Es ist für alle [mm] $n\in\IR, n\neq [/mm] -1$ doch [mm] $\int{z^n \ dz}=\frac{1}{1+n}\cdot{}z^{n+1} [/mm] \ + \ C$
Rechne also nochmal nach, betrachte den Fall $n=-1$ gesondert!
>
> [mm]=\bruch{1}{2*(n-1)(1+x^2)^(n-1)}[/mm]
Setze Exponenten, die länger als 1 Zeichen sind, in geschweifte Klammern {}, also zB. (1+x^2)^{n-1} für [mm] $(1+x^2)^{n-1}$
[/mm]
Überprüfe die Vorzeichen, siehe Regel oben!
Schreibe vllt. besser um: [mm] $\frac{1}{u^n}=u^{-n}$ [/mm] ...
Dann siehst du, wo das VZ herkommt ...
>
>
>
> Bei Aufgabe 2 finde ich wieder einen Punkt zum einsteigen.
> Ich würde ja
> u= [mm]x^2[/mm] wählen, womit
> u´= 2x wäre.
Jo
>
> Wenn ich das nun anwende bekomme ich
>
> [mm]\integral_{}{} x*e^{x^2}\,[/mm] dx
> = [mm]\integral_{}{}[/mm] x [mm]e^u \bruch{du}{2x}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2} \integral_{}{} e^u[/mm] du
> = [mm]\bruch{1}{2} [e^u][/mm]
> =?
[mm] $=\frac{1}{2}e^{x^2} [/mm] \ + \ C$
>
> Wie bilde ich bei Aufgabe 2 die Stammfunktion von [mm]e^{x^2}?[/mm]
gar nicht, wieso auch, mit der Substitution hast du das Integral [mm] $\int{\frac{1}{2}e^{u} \ du}$
[/mm]
Und das ist [mm] $=\frac{1}{2}e^{u} [/mm] \ + \ C$
Nur noch resubstituieren und fertig ist die Laube
>
> Das müsste in meine Rechnung der letzte Schritt zur
> Lösung sein.
> Könnte mir das vllt jemand ausführlich hinschreiben,
> damit ich nochmal die Feinheiten der E-Funktionen vor mir
> habe?
>
>
> Ich danke euch schonmal vorher.
>
>
> Mfg Alpi
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Alpi |
Also Aufgabe 2 ist alles klar!
Aber bei Aufgabe 1 will es so gar nicht klingeln bei mir.
Ich habe mir deine Formel angeschaut und ich werde nicht schlau drauß.
Bis zum Schritt [mm] \bruch{1}{2} \integral_{}{} \bruch {1}{u^n}\, [/mm] du ist alles logisch für mich.
Danach setzt aber alles aus.
Könntest du mir das vllt. Schrittweise erklären?
So mit welchen Überlegungen gehen wir dadran und welche Formel muss ich dann verwenden!
Und deine Formel sagt mir irgendwas aber ich bekomme Sie nicht umgestellt in eine Form die ich verwenden kann.
Mfg Alpi
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Also Aufgabe 2 ist alles klar!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") gut!
>
> Aber bei Aufgabe 1 will es so gar nicht klingeln bei mir.
>
> Ich habe mir deine Formel angeschaut und ich werde nicht
> schlau draußs.
>
> Bis zum Schritt [mm]\bruch{1}{2} \integral_{}{} \bruch {1}{u^n}\,[/mm]
> du ist alles logisch für mich.
Gut
Das schreiben wir um: [mm] $=\frac{1}{2}\cdot{}\int{u^{-n} \ du}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{1+(-n)}\cdot{}u^{-n+1}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{1-n}\cdot{}\frac{1}{u^{n-1}}=\frac{1}{2\cdot{}(-1)\cdot{}(n-1)}\cdot{}\frac{1}{u^{n-1}}$
[/mm]
[mm] $=-\frac{1}{2\cdot{}(n-1)}\cdot{}\frac{1}{u^{n-1}}$
[/mm]
>
> Danach setzt aber alles aus.
>
> Könntest du mir das vllt. Schrittweise erklären?
> So mit welchen Überlegungen gehen wir dadran und welche
> Formel muss ich dann verwenden!
Das ist doch die stadtbekannte Potenzformel für das Integrieren ...
Der Rest ist einfach eingesetzt
Bedenke aber, dass die obige Lösung nur für [mm] $n\neq [/mm] -1$ gilt.
Den Fall $n=-1$ musst du gesondert untersuchen.
Du kennst ja bestimmt das Integral [mm] $\int{u^{-1} \ du}=\int{\frac{1}{u} \ du}$ [/mm] ...
Also mach mal zuende 
>
> Und deine Formel sagt mir irgendwas aber ich bekomme Sie
> nicht umgestellt in eine Form die ich verwenden kann.
Nach dem Umschreiben und den Zeilen oben ist es aber nun klar, oder?
>
>
> Mfg Alpi
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:33 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Alpi |
Hey!
Das ja mal geil.
Danke für deine Hilfe, ich habe es verstanden.
|
|
|
|
