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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Substitution
Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Substitution: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 So 11.01.2015
Autor: Morph007

Aufgabe
Lösen Sie die folgende DGL durch eine geeignete Substitution:

[mm] $y'=\frac{x+y}{x-y}$ [/mm]

Welche Substitution ist denn hier am geeignetsten?
Ich komme einfach auf keine.

        
Bezug
Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:10 So 11.01.2015
Autor: MathePower

Hallo  Morph007,

> Lösen Sie die folgende DGL durch eine geeignete
> Substitution:
>  
> [mm]y'=\frac{x+y}{x-y}[/mm]
>  Welche Substitution ist denn hier am geeignetsten?
>  Ich komme einfach auf keine.


Hier führt eine Substitution in Polarkoordianten auf eine
Lösungsdarstelluing in Parameterform.

Diese habe ich hier erläutert.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:53 Mo 12.01.2015
Autor: Morph007

Wenn das Ergebnis in expliziter Form angegeben werden soll, kann ich dann überhaupt in Polarkoordinaten substituieren?

Bezug
                        
Bezug
Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Mo 12.01.2015
Autor: MathePower

Hallo Morph007,

> Wenn das Ergebnis in expliziter Form angegeben werden soll,
> kann ich dann überhaupt in Polarkoordinaten substituieren?


Du kannst zwar das "t" in Abhäbngigkeit von y und x ausdrücken.
Jedoch wirst Du in den meisten Fällen eine implizite Lösungs-
darstellung erhalten.


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:27 Mo 12.01.2015
Autor: fred97


> Lösen Sie die folgende DGL durch eine geeignete
> Substitution:
>  
> [mm]y'=\frac{x+y}{x-y}[/mm]
>  Welche Substitution ist denn hier am geeignetsten?
>  Ich komme einfach auf keine.


Es ist [mm]y'=\frac{1+y/x}{1-y/x}[/mm]

Substituiere [mm] u(x)=\bruch{y(x)}{x} [/mm]

Das führt auf eine Dgl. mit getrennten Veränderlichen.

FRED

Bezug
                
Bezug
Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:24 Mo 12.01.2015
Autor: Morph007

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Okay. Wenn ich jetzt mal von Polarkoordinaten absehe und weiter auflöse, erhalte ich am Ende:

$\frac{1}{2}*\ln{(\frac{y^2}{x^2}}-\frac{2y}{x}-1)}=\ln{(x)}+C$

Stimmt das so?

Bezug
                        
Bezug
Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 Di 13.01.2015
Autor: Martinius

Hallo morph007,

> Okay. Wenn ich jetzt mal von Polarkoordinaten absehe und
> weiter auflöse, erhalte ich am Ende:
>  
> [mm]\frac{1}{2}*\ln{(\frac{y^2}{x^2}}-\frac{2y}{x}-1)}=\ln{(x)}+C[/mm]
>  
> Stimmt das so?


Ich habe:   [mm] $ln\left|\frac{x^2+y^2}{x^2} \right|-2*arctan\left(\frac{y}{x} \right)\;=\;-2*ln|x|+C$ [/mm]


Hoffentlich ohne Fehler.

LG, Martinius

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