Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:11 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Manu3911 |
| Aufgabe | Lösung des folgenden Integrals:
[mm] \integral \bruch{1}{\wurzel{(a^2+x^2)}^3}\, dx [/mm] |
Hallo,
ich bräuchte mal eure Hilfe bei dem Integral. Bis jetzt hab ich folgendes gemacht:
Den Term umgeschrieben auf [mm] (a^2+x^2)^{-\bruch{3}{2}} [/mm] und dann substituiert:
[mm] v=a^2+x^2 [/mm], [mm] dv=2x*dx [/mm], [mm] dx=\bruch{dv}{2x} [/mm], [mm] x=\wurzel{v-a^2} [/mm]
Durch die Substitution ergibt sich dann folgendes:
[mm] \bruch{1}{2}\integral v^\bruch{-3}{2}*\bruch{dv}{\wurzel{v-a^2}} [/mm]
Jettz mein Problem: In dem Teilterm [mm] \bruch{dv}{\wurzel{v-a^2}} [/mm] kann ich ja v wieder ersetzen, womit unter der Wurzel nur noch [mm] x^2 [/mm] steht und [mm] \wurzel{x^2} [/mm] ist ja nunmal x.
Ist das alles so korrekt und wenn ja, was mach ich dann mit dem x?
Vielen Dank!
Gruß Manu
|
|
| |
|
Hallo,
das ist ein wenig tricky hier, ich bin eigentlich auch eher zufällig auf einen gangbaren Weg gestoßen:
Subtsituiere mal
[mm] z=\bruch{1}{\wurzel{(a^2+x^2)}}
[/mm]
Auch da muss man die Substitutionsgleichung noch nach x auflösen. Aber es wird etwas sehr nützliches passieren...
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Ok, ich hab das jetzt so probiert, bleib aber noch hängen:
[mm] dz=-x*(a^2+x^2)^\bruch{-3}{2}*dx [/mm]
[mm] dx=\bruch{(a^2+x^2)^\bruch{3}{2}}{-x}*dz [/mm]
[mm] x=\wurzel{\bruch{1}{z^2}-a^2} [/mm]
Und daraus folgt dann:
[mm] dx=\bruch{-1}{\wurzel{\bruch{1}{z^2}-a^2}}*(\bruch{1}{z^2})^\bruch{3}{2}*dz [/mm]
Wäre das soweit richtig und wenn ja, wie muss ich weiter verfahren? Ich seh irgendwie nicht, was sich jetzt vereinfacht.
Gruß Manu
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ok, ich hab das jetzt so probiert, bleib aber noch
> hängen:
>
> [mm]dz=-x*(a^2+x^2)^\bruch{-3}{2}*dx[/mm]
Ja, und das bedeutet doch:
[mm] dz=-\bruch{x}{z^3}*dx
[/mm]
bzw.
>
> [mm]dx=\bruch{(a^2+x^2)^\bruch{3}{2}}{-x}*dz[/mm]
[mm] dx=-\bruch{z^3}{x}*dz
[/mm]
>
> [mm]x=\wurzel{\bruch{1}{z^2}-a^2}[/mm]
>
> Und daraus folgt dann:
>
> [mm]dx=\bruch{-1}{\wurzel{\bruch{1}{z^2}-a^2}}*(\bruch{1}{z^2})^\bruch{3}{2}*dz[/mm]
>
Nein, [mm] z^3 [/mm] sollte sich herauskürzen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Ich hab gerad echt ne sehr lange Leitung...
und deswegen versteh ich nicht, wie du auf [mm] dz=-\bruch{x}{z^3} [/mm] kommst.
Also wenn [mm] z=\bruch{1}{\wurzel{a^2+x^2}}=(a^2+x^2)^\bruch{-1}{2} [/mm] ist, dann ist dz doch:
[mm] dz=-x*(a^2+x^2)^\bruch{-3}{2}*dx=-x*((a^2+x^2)^\bruch{-1}{2})^3*dx=-x*z^3*dx [/mm]
Könntest du mir erklären, was ich falsch mache?
Gruß Manu
|
|
|
| |
|
Hallo Manu!
> und deswegen versteh ich nicht, wie du auf [mm]dz=-\bruch{x}{z^3}[/mm] kommst.
Da ist Diophant leider ein [mm] $\mathrm{dx}$ [/mm] abhanden gegangen.
> Also wenn [mm]z=\bruch{1}{\wurzel{a^2+x^2}}=(a^2+x^2)^\bruch{-1}{2}[/mm] ist, dann ist dz doch:
>
> [mm]dz=-x*(a^2+x^2)^\bruch{-3}{2}*dx=-x*((a^2+x^2)^\bruch{-1}{2})^3*dx=-x*z^3*dx[/mm]
Da sprichst (bzw. schreibst) Du wahr.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Ok, wenn das bis dahin erstmal korrekt ist, mach ich einfach mal den nächsten Schritt:
[mm] dx=\bruch{dz}{-x*z^3} [/mm] und da [mm] x=\wurzel{\bruch{1}{z^2}-a^2} [/mm] kommt dann raus:
[mm] dx=\bruch{dz}{\wurzel{\bruch{1}{z^2}-a^2}*z^3} [/mm]
Wenn ich das dann einsetze in das Integral folgt:
[mm] -\integral (\bruch{1}{z^2}-a^2)^\bruch{-1}{2}*dz [/mm]
Wenn das bis hierhin korrekt wäre, muss ich dass dann erneut mit Substitution lösen?
Gruß Manu
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ok, wenn das bis dahin erstmal korrekt ist, mach ich
> einfach mal den nächsten Schritt:
>
> [mm]dx=\bruch{dz}{-x*z^3}[/mm] und da [mm]x=\wurzel{\bruch{1}{z^2}-a^2}[/mm]
> kommt dann raus:
>
> [mm]dx=\bruch{dz}{\wurzel{\bruch{1}{z^2}-a^2}*z^3}[/mm]
>
> Wenn ich das dann einsetze in das Integral folgt:
>
> [mm]-\integral (\bruch{1}{z^2}-a^2)^\bruch{-1}{2}*dz[/mm]
>
> Wenn das bis hierhin korrekt wäre, muss ich dass dann
> erneut mit Substitution lösen?
Es ist korrekt. Jetzt lass mal diese Schreibweise mit rationalen Exponenten weg und schreibe das ganze als Wurzel, dann sieht das zunächst so aus:
[mm] -\int{\bruch{dz}{\wurzel{\bruch{1}{z^2}-a^2}}}
[/mm]
So, und was würde denn da jetzt passieren, wenn man den Integranden, sagen wir mit z, erweitert? 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Was meinst du genau mit erweitern?
Also den Integranden mit [mm] \bruch{z}{z} [/mm] erweitern?
Gruß Manu
|
|
|
| |
|
Hallo Manu,
> Was meinst du genau mit erweitern?
>
> Also den Integranden mit [mm]\bruch{z}{z}[/mm] erweitern?
Ja, genau das!
Wenn Du willst, kannst Du danach ja nochmal substituieren...
Auch wenn man so langsam den Überblick verliert. Immerhin bist Du jetzt einem "machbaren" Integral doch schon sehr nahe.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Manu3911,
> Was meinst du genau mit erweitern?
>
> Also den Integranden mit [mm]\bruch{z}{z}[/mm] erweitern?
>
Diese Frage erscheint mir abwegig, bzw. ein Zeichen dafür, dass du dich mit den gegebenen Antworten nicht in der gebotenen Gründlichkeit auseinandersetzt.
Was sonst sollte man mit erweitern denn meinen? Das ist eine Terminologie aus der Sekundarstufe 1, die man hier voraussetzen darf. Ebenso wie den Begriff Integrand, welcher die zu integrierende Funktion meint.
PS: wenn du mit dem vorgeschlagenen Weg fertig bist, kommst du vielleicht wie ich auf die Idee, dass die Substitution vielleicht zielführend aber unnötig kompliziert sein könnte.
Ich habe das ganze daher soeben auch noch mittels
[mm] z=a^2+x^2
[/mm]
versucht, das bringt in meinen Augen jedoch auch keine Verbesserung, insbesondere erspart es nicht die zweifache Substitution.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Fr 21.02.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo Diophant, hallo Manu,
> > Was meinst du genau mit erweitern?
> >
> > Also den Integranden mit [mm]\bruch{z}{z}[/mm] erweitern?
> >
>
> Diese Frage erscheint mir abwegig, bzw. ein Zeichen dafür,
> dass du dich mit den gegebenen Antworten nicht in der
> gebotenen Gründlichkeit auseinandersetzt.
Das finde ich allerdings auch.
> Was sonst sollte man mit erweitern denn meinen? Das ist
> eine Terminologie aus der Sekundarstufe 1, die man hier
> voraussetzen darf. Ebenso wie den Begriff Integrand,
> welcher die zu integrierende Funktion meint.
>
> PS: wenn du mit dem vorgeschlagenen Weg fertig bist, kommst
> du vielleicht wie ich auf die Idee, dass die Substitution
> vielleicht zielführend aber unnötig kompliziert sein
> könnte.
>
> Ich habe das ganze daher soeben auch noch mittels
>
> [mm]z=a^2+x^2[/mm]
>
> versucht, das bringt in meinen Augen jedoch auch keine
> Verbesserung, insbesondere erspart es nicht die zweifache
> Substitution.
Wenn man im Laufe des Integrierens zwei- oder sogar dreimal substituiert, dann macht es oft Sinn, diese Substitutionen noch einmal zusammenzufassen und durch eine einzige zu ersetzen - auch wenn es eine ist, auf die man halt sonst nicht gekommen wäre.
Es macht die Rechnung übersichtlicher und vor allem weniger fehleranfällig, und das ist beim Integrieren immer hilfreich.
Wenn also das Integral demnächst einmal bestimmt ist, sollten wir auf jeden Fall noch einmal schauen, was von Anfang an eine bessere Substitution gewesen wäre.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo reverend,
> Wenn man im Laufe des Integrierens zwei- oder sogar dreimal
> substituiert, dann macht es oft Sinn, diese Substitutionen
> noch einmal zusammenzufassen und durch eine einzige zu
> ersetzen - auch wenn es eine ist, auf die man halt sonst
> nicht gekommen wäre.
>
> Es macht die Rechnung übersichtlicher und vor allem
> weniger fehleranfällig, und das ist beim Integrieren immer
> hilfreich.
Unbdedingt!
>
> Wenn also das Integral demnächst einmal bestimmt ist,
> sollten wir auf jeden Fall noch einmal schauen, was von
> Anfang an eine bessere Substitution gewesen wäre.
Ja: und es gibt sie, man findet sie natürlich mit den bisherigen Überlegungen auch leicht. Mir ging es allerdings am Anfang darum, dass die gewählte Substitution einigermaßen nachvollziehbar bleibt. Vielleicht war das meinerseits ein didaktischer Fehler, aber im Sinne von Hilfe zur Selbsthilfe fand ich es jedenfalls zu diesem Zeitpunkt die bessere Wahl, eine Substitution anzugeben, die nach meiner Meinung den Rechenaufwand noch überschaubar lässt aber auch nicht gerade aussieht, als wäre sie an den Haaren herbeigezogen.
Beste Grüße, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Johannes,
> > Wenn also das Integral demnächst einmal bestimmt ist,
> > sollten wir auf jeden Fall noch einmal schauen, was von
> > Anfang an eine bessere Substitution gewesen wäre.
>
> Ja: und es gibt sie, man findet sie natürlich mit den
> bisherigen Überlegungen auch leicht. Mir ging es
> allerdings am Anfang darum, dass die gewählte Substitution
> einigermaßen nachvollziehbar bleibt. Vielleicht war das
> meinerseits ein didaktischer Fehler, aber im Sinne von
> Hilfe zur Selbsthilfe fand ich es jedenfalls zu diesem
> Zeitpunkt die bessere Wahl, eine Substitution anzugeben,
> die nach meiner Meinung den Rechenaufwand noch
> überschaubar lässt aber auch nicht gerade aussieht, als
> wäre sie an den Haaren herbeigezogen.
gerade wegen der letzten Argumente war das m. E. mit Sicherheit kein
didaktischer Fehler!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Tut mir leid für die "dumme" Frage, natürlich weiß ich, was erweitern ist, aber ich hatte vorhin eine andere, mittlerweile aber sehr abwegige Idee, weshalb ich das kurz in Frage gestellt hatte.
Trotzdem seh ich einfach nicht, was dahinter steckt.
Jetzt habe ich ja:
[mm] \integral \bruch{z}{z*\wurzel{\bruch{1}{z^2}-a^2}}*dz [/mm]
Und dann würde ich [mm] v=\bruch{1}{z^2}-a^2 [/mm] substituieren.
Aber was hab ich dann davon?
Gruß Manu
|
|
|
| |
|
Hallo Manu!
> Jetzt habe ich ja: [mm]\integral \bruch{z}{z*\wurzel{\bruch{1}{z^2}-a^2}}*dz[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und das kann man im Nenner wie folgt umformen, um den unschönen Doppelbruch zu entfernen:
[mm] $z*\wurzel{\bruch{1}{z^2}-a^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{z^2}*\wurzel{\bruch{1}{z^2}-a^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{z^2*\left(\bruch{1}{z^2}-a^2\right)} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{1-a^2*z^2}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Ahhh, Danke für die Super-Umformung, wär ich allein nicht drauf gekommen!
Und nun weiter, ich hab das unter der Wurzel substituiert (v=...) und daraus folgt ja
[mm] dv=-2za^2*dv, z=\wurzel{\bruch{1-v}{a^2}} [/mm]
Wenn ich nun das Integral löse und erstmal v rücksubstituiere, erhalte ich [mm] -\bruch{1}{3a^2*(\wurzel{1-z^2*a^2})^3 [/mm]
Ist der Weg bis dahin korrekt?
Gruß Manu
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ahhh, Danke für die Super-Umformung, wär ich allein nicht
> drauf gekommen!
Das sollte dir zu denken geben: ich behaupte nämlich hier gleich mal glatt und sauber das Gegenteil. Darauf kann und sollte man kommen schon allein aus dem Grund, weil die angesprochene Erweiterung doch sonst überhaupt keinen Effekt hätte. Also gehen wir mal zu meiner Ehrenrettung davon aus, dass mein Tipp einen Sinn hatte. Ja, was käme denn dann überhaupt anderes in Frage, als das z in die Wurzel reinzuziehen? Auch hier gilt: man muss bereit sein, eine gewisse Gründlichkeit aufzubringen, sonst braucht man auch nicht jammern, dass man dies oder jedes nicht hinbekommt!
>
> Und nun weiter, ich hab das unter der Wurzel substituiert
> (v=...) und daraus folgt ja
> [mm]dv=-2za^2*dv, z=\wurzel{\bruch{1-v}{a^2}}[/mm]
> Wenn ich nun
> das Integral löse und erstmal v rücksubstituiere, erhalte
> ich [mm]-\bruch{1}{3a^2*(\wurzel{1-z^2*a^2})^3[/mm]
>
> Ist der Weg bis dahin korrekt?
Nein: einmal scharf hingesehen sagt dir, dass jetzt im Zähler die Hälfte der inneren Ableitung der Wurzel steht. Im Prinzip hat der Integrand damit die Gestalt
[mm] -\bruch{1}{2}*g'(x)*f(g(x))
[/mm]
und das ist bis auf den Vorfaktor nichts anderes als die Kettenregel, so dass man das Integral sofort hinschreiben könnte. Anderenfalls substituiere jetzt
[mm] v=1-a^2*z^2
[/mm]
mit
[mm] \bruch{dv}{dz}=-2a^2z
[/mm]
Nach z aufzulösen ist hier nicht mehr notwendig, denn nach der Substitution kürzt sich z vollständig heraus:
[mm] -\int{\bruch{z}{\wurzel{1-a^2z^2}} dz} \to \int{\bruch{z}{\wurzel{v}} \bruch{dv}{2a^2z}}=\bruch{1}{2a^2}\int{\bruch{dv}{\wurzel{v}} \bruch{dv}}
[/mm]
Jetzt kann es sein, dass deine obigen Textschnipsel genau das sagen sollen, dass du diesen Weg versucht hast. Nur: man kann leider nicht nachvollziehen was du gemacht hast. Und sorry: eine fertige Lösung gibt es bei dieser Performance von meiner Seite aus nicht.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > Ok, wenn das bis dahin erstmal korrekt ist, mach ich
> > einfach mal den nächsten Schritt:
> >
> > [mm]dx=\bruch{dz}{-x*z^3}[/mm] und da
> [mm]x=\wurzel{\bruch{1}{z^2}-a^2}[/mm]
> > kommt dann raus:
> >
> > [mm]dx=\bruch{dz}{\wurzel{\bruch{1}{z^2}-a^2}*z^3}[/mm]
> >
> > Wenn ich das dann einsetze in das Integral folgt:
> >
> > [mm]-\integral (\bruch{1}{z^2}-a^2)^\bruch{-1}{2}*dz[/mm]
> >
> > Wenn das bis hierhin korrekt wäre, muss ich dass dann
> > erneut mit Substitution lösen?
>
> Es ist korrekt. Jetzt lass mal diese Schreibweise mit
> rationalen Exponenten weg und schreibe das ganze als
> Wurzel, dann sieht das zunächst so aus:
>
> [mm]-\int{\bruch{dz}{\wurzel{\bruch{1}{z^2}-a^2}}}[/mm]
>
> So, und was würde denn da jetzt passieren, wenn man den
> Integranden, sagen wir mit z, erweitert?
das hätte ich übrigens formal weniger gerne gemacht, denn [mm] $z=\sqrt{z^2}$ [/mm] ist
eine Gleichung, die im reellen nicht immer wahr ist. (Sowas braucht man
an dieser Stelle hier zwar auch noch nicht, aber soweit ich das bei roadrunner
sehe, benutzt er das quasi im nächsten Schritt.)
Rein formal
[mm] $-\int{\bruch{dz}{\wurzel{\bruch{1}{z^2}-a^2}}}=-\int\sqrt{\frac{z^2}{1-a^2z^2}}dz.$
[/mm]
Ändert das obige "Problem" nicht, aber es ändert die Stelle, an der das
Problem auftaucht. Und ich finde solche Stellen besser, wenn sie nahe
am Anfang oder Ende der Rechnung stehen, als wenn sie mittendrin
stehen (bei "mittendrin" vergesse ich sowas eventuell auch mal).
Vielleicht macht man sich aber das Leben auch erstmal einfacher, indem
man von vorneherein sagt:
Zunächst einmal sei stets $z [mm] \ge 0\,$ [/mm] (theoretisch kann man auch erst den
Fall "stets $z < [mm] 0\,$" [/mm] behandeln)...
Aber, wie gesagt: Ich meine das weder als fachliche Kritik noch als "Fehlerhinweis",
sondern ich teile einfach mal mit, was "meiner Erfahrung nach gefühlsmäßig"
*besser* erscheint...
( Wobei, wenn man es sich hinschreibt, das eigentlich auch keine wirkliche
Verbesserung bringt. Also sagen wir vielleicht doch einfach mal *nur*
"Alternativ-Rechnung" dazu.  )
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:36 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Hallo,
ok, Danke schonmal für die Lösung! Ich hoffe, wir bekommen den Weg dahin auch noch hin, das interessiert mich nämlich jetzt umso mehr! :p
Gruß Manu
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Fr 21.02.2014 | | Autor: | MathePower |
Hallo Manu3911,
> Hallo,
>
> ok, Danke schonmal für die Lösung! Ich hoffe, wir
> bekommen den Weg dahin auch noch hin, das interessiert mich
> nämlich jetzt umso mehr! :p
>
Ein Weg ist die alternative Substitution
[mm]x=a*\sinh\left(z\right)[/mm]
zu verwenden.
> Gruß Manu
Gruss
MathePower
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
etwas Unterstützung![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]"){kind=small}
