www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Stetigkeit" - Stückweise stetige Funktion
Stückweise stetige Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Stückweise stetige Funktion: Verständnisfrage stkw. stetig
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:43 So 04.08.2019
Autor: bondi

Aufgabe
[mm] $f: [-1,1]\to\IR, f(x)=\begin{cases} 1/x, & \mbox{falls } x\neq 0 \\ 0 & \mbox{falls }x=0\end{cases} [/mm]

Hallo,
wir sollen stückweise Stetigkeit von Funktionen bestimmen.

[mm] \limes_{x \to 0^+} f(x) = \limes_{x \to 0^+} 1/x = \infty [/mm]

[mm] 1/x [/mm] ist nicht stetig in [mm] \IR [/mm], wohl aber stetig in [mm] \IR \setminus\{0\} [/mm].

Es existiert jedoch kein Grenzwert, demnach nicht stetig. Ich betrachte Stetigkeit doch aber nur im Intervall [-1,1].

Fragen über Fragen...



        
Bezug
Stückweise stetige Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:11 So 04.08.2019
Autor: fred97


> [mm]$f: [-1,1]\to\IR, f(x)=\begin{cases} 1/x, & \mbox{falls } x\neq 0 \\ 0 & \mbox{falls }x=0\end{cases}[/mm]
>  
> Hallo,
>  wir sollen stückweise Stetigkeit von Funktionen
> bestimmen.
>
> [mm]\limes_{x \to 0^+} f(x) = \limes_{x \to 0^+} 1/x = \infty[/mm]
>
> [mm]1/x[/mm] ist nicht stetig in [mm]\IR [/mm], wohl aber stetig in [mm]\IR \setminus\{0\} [/mm].
>  
> Es existiert jedoch kein Grenzwert, demnach nicht stetig.
> Ich betrachte Stetigkeit doch aber nur im Intervall
> [-1,1].
>  
> Fragen über Fragen...
>  

f ist auf [-1,1] stückweise  stetig,  wenn es eine Zerlegung [mm] t_0=-1

Edit:  f ist auf jedem Intervall [mm] (t_{j-1},t_j) [/mm] stetig und die einseitigen  Grenzwerte  von  f  existieren in jedem Zerlegungspunkt [mm] t_j. [/mm]

Findest  Du  eine solche Zerlegung? Ich  bin  der Meinung, dass Du keine  findest.

Dazu nimm an, es gäbe  eine solche Zerlegung.  Dann gibt es zwei Fälle.

Es gibt  ein [mm] t_j [/mm] mit [mm] 0=t_j [/mm] oder nicht.  Führe beide Fälle zum Widerspruch.

>  


Bezug
                
Bezug
Stückweise stetige Funktion: Definition stückweise stetig?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:17 So 04.08.2019
Autor: tobit09

Hallo zusammen,

es scheinen verschiedene Definitionen von stückweise stetig im Umlauf zu sein.

@bondi: Wie lautet eure Definition?

@fred97:

> f ist auf [-1,1] stückweise  stetig,  wenn es eine
> Zerlegung [mm]t_0=-1
> Einschränkung von f auf jedem Teilintervall  [mm][t_{j-1}, t_j][/mm]
> stetig ist.

Sicher, dass dies eine sinnvolle Definition der stückweisen Stetigkeit ist?
Wenn ich jetzt nicht gerade einen totalen Blackout habe, würde dann stückweise Stetigkeit einer Abbildung [mm] $f\colon[-1;1]\to\mathbb{R}$ [/mm] äquivalent zur Stetigkeit von f sein.

Viele Grüße
Tobias

Bezug
                        
Bezug
Stückweise stetige Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:58 So 04.08.2019
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>  
> es scheinen verschiedene Definitionen von stückweise
> stetig im Umlauf zu sein.
>  
> @bondi: Wie lautet eure Definition?
>  
> @fred97:
>  > f ist auf [-1,1] stückweise  stetig,  wenn es eine

> > Zerlegung [mm]t_0=-1
> > Einschränkung von f auf jedem Teilintervall  [mm][t_{j-1}, t_j][/mm]
> > stetig ist.
>  Sicher, dass dies eine sinnvolle Definition der
> stückweisen Stetigkeit ist?
>  Wenn ich jetzt nicht gerade einen totalen Blackout habe,
> würde dann stückweise Stetigkeit einer Abbildung
> [mm]f\colon[-1;1]\to\mathbb{R}[/mm] äquivalent zur Stetigkeit von f
> sein.

Hallo Tobias,

die Definition,  die ich  oben angegeben habe, ist missglückt. Ich werde es sofort  verbessern.

>  
> Viele Grüße
>  Tobias


Bezug
                                
Bezug
Stückweise stetige Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:29 So 04.08.2019
Autor: bondi


> > Hallo zusammen,
>  >  
> > es scheinen verschiedene Definitionen von stückweise
> > stetig im Umlauf zu sein.
>  >  
> > @bondi: Wie lautet eure Definition?
>  >  

Dank dir, gefunden :)


Definition: Sei [mm] I \subseteq \IR [/mm] ein abgeschlossenes Intervall und [mm] $f: I \rightarrow \IR [/mm].

[mm] f [/mm] heißt stückweise stetig, falls es endlich viele Punkte [mm] x_1 < x_2 < ... x_n [/mm] aus [mm] I [/mm] gibt, sodass

i) [mm] f [/mm] ist stetig in jedem Punkt [mm] x \in I \setminus \{x_1,...,x_n \} [/mm]

ii) [mm] \limes_{x\rightarrow x_k^+} [/mm] [mm] $f(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow x_k^-} [/mm] [mm] $f(x) [/mm] existieren [mm] ( 1 \le k \le n ) [/mm].


Bezug
                                        
Bezug
Stückweise stetige Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:09 Mo 05.08.2019
Autor: tobit09

Hallo bondi,


deine Definition ist zwar etwas anders formuliert als Freds, aber äquivalent zu dieser.

Die Funktion f aus der Aufgabenstellung ist also auch nach eurer Definition nicht stückweise stetig.

Beweisen kannst du dies mit Freds Argumentation.
Ich formuliere sie noch einmal mit deiner Definition:


Angenommen f ist stückweise stetig.
Zu zeigen ist ein Widerspruch.

Wegen der angenommenen stückweisen Stetigkeit von f existieren Stellen [mm] $x_1,\ldots,x_n\in[-1,1]$, [/mm] so dass i) und ii) aus der Definition der stückweisen Stetigkeit gelten.

Nun gilt
1. [mm] $0\in\{x_1,\ldots,x_n\}$ [/mm]
oder
2. [mm] $0\notin\{x_1,\ldots,x_n\}$. [/mm]

Im Fall 1. leite einen Widerspruch zu ii) her.
Im Fall 2. leite einen Widerspruch zu i) her.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]