Ströme berechnen < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Smuji |
Aufgabenstellung ist eine Zeichnung und findet sich im Anhang
Hallo,
ich habe für diese Aufgabe 2 Gleichungen aufgestellt, weiß aber nicht wie ich diese nun umstellen kann.....Habe mal nach infos in youtube gesucht, aber da wird das umstellen einfach übersprungen.
Meine 2 Gleichungen sind
Für die Umlaufrichtung habe ich den Uhrzeigersinngewählt
-I Masche 1 = I1 * R1 + U2 + (I1 - I2) - R2 - U1 = 0
-I Masche 2 = I2 * R3 + U3 + (I2 - I1) * R2 - U2 = 0
Und nun ? Ich habe mal was gehört von der Matrizenschreibweise .... Matrizen kenne ich, aber nichti n diesem Zusammenhang....
Wie könnte ich das nun auflösen ?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 Mi 20.11.2013 | | Autor: | GvC |
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> Meine 2 Gleichungen sind
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> Für die Umlaufrichtung habe ich den Uhrzeigersinngewählt
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> -I Masche 1 = I1 * R1 + U2 + (I1 - I2) - R2 - U1 = 0
> -I Masche 2 = I2 * R3 + U3 + (I2 - I1) * R2 - U2 = 0
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> ...
>
> Wie könnte ich das nun auflösen ?
Ich würde zunächst mal die beiden Gleichungen in zweierlei Hinsicht verbessern:
1. In der ersten Gleichung steht nach (I1-I2) ein Minuszeichen, welches eigentlich ein Multiplikationszeichen sein müsste
2. Ich würde für die Maschenströme zur Unterscheidung von den Zweigströmen eine andere Indizierung wählen, z.B. [mm] I_a [/mm] und [mm] I_b. [/mm] Die Zweigströme sind genauso wie die Maschenströme in die Schaltskizze einzutragen, z.B. [mm] I_1 [/mm] und [mm] I_3 [/mm] von links nach rechts und [mm] I_2 [/mm] von oben nach unten. Dann ergibt sich vor jeglicher Rechnung bereits
[mm]I_1=I_a[/mm]
[mm]I_2=I_a-I_b[/mm]
[mm]I_3=I_b[/mm]
Diese Vorgehensweise ist bei der vorliegenden ziemlich trivialen Aufgabe zwar nicht unbedingt erforderlich, wohl aber ratsam bei stärker vermaschten Netzwerken, bei denen man sonst leicht den Überblick verliert. In dieser Aufgabe kannst Du die standardmäßige Vorgehensweise gut trainieren.
Deine beiden Gleichungen sehen also jetzt so aus:
[mm]I_a\cdot R_1+U_2+(I_a-I_b)\cdot R_2-U_1=0[/mm]
und
[mm]I_b\cdot R_3+U_3+(I-b-I_a)\cdot R_2-U_2=0[/mm]
Ordnen:
[mm]I_a\cdot (R_1+R_2)-I_b\cdot R_2=U_1-U_2[/mm]
und
[mm]-I_a\cdot R_2+I_b\cdot (R_2+R_3)=U_2-U_3[/mm]
In Matrizenschreibweise:
[mm]\begin{pmatrix}R_1+R_2&-R_2\\-R_2&R_2+R_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}I_a\\I_b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}U_1-U_2\\U_2-U_3\end{pmatrix}[/mm]
Kommst Du jetzt alleine weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Smuji |
Zu 1. Ja, sorry, das Vorzeichen habe ich nur falsch abgetippt
zu 2. Stimmt, Ia und Ib ist übersichtlicher und nicht so leicht verwechselbar mit den anderen Strömen
Wie hast du das mit dem Ordnen gemacht ? denn in gleichung 1 war ja Ia und Ib vorhanden...
$ [mm] \begin{pmatrix}20+25&-25\\-25&25+30\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}I_a\\I_b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}36-24\\24-36\end{pmatrix} [/mm] $
wie gehe ich nun mit dieser matrize um ? matrizenmultiplikation scheinbar nicht.... denn dann würde ich ja nur dasmatrizenprodukt erhalten... und das ergebnis sieht ja auch aus wie eine A22- matrix ( die spannungen)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Mi 20.11.2013 | | Autor: | GvC |
> Zu 1. Ja, sorry, das Vorzeichen habe ich nur falsch
> abgetippt
>
> zu 2. Stimmt, Ia und Ib ist übersichtlicher und nicht so
> leicht verwechselbar mit den anderen Strömen
>
> Wie hast du das mit dem Ordnen gemacht ? denn in gleichung
> 1 war ja Ia und Ib vorhanden...
>
>
> [mm]\begin{pmatrix}20+25&-25\\-25&25+30\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}I_a\\I_b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}36-24\\24-36\end{pmatrix}[/mm]
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> wie gehe ich nun mit dieser matrize um ?
> matrizenmultiplikation scheinbar nicht.... denn dann würde
> ich ja nur dasmatrizenprodukt erhalten... und das ergebnis
> sieht ja auch aus wie eine A22- matrix ( die spannungen)
Ich dachte, Du kennst Dich mit Matrizen aus. Offenbar doch nicht. Und reines Einsetzen von Zahlenwerten ohne Einheiten ist schon mal gar nichts.
Zahlen und Einheiten in die Matrizengleichung eingesetzt ergibt
[mm]\begin{pmatrix}45\Omega&-25\Omega\\-25\Omega&55\Omega\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}I_a\\I_b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12V\\12V\end{pmatrix}[/mm]
In Worten: Widerstandsmatrix mal Stromvektor ist gleich dem Spannungsvektor (ohmsches Gesetz). Das ist nur eine verkürzte und strenger strukturierte Schreibweise des Gleichungssystems.
Eine solche Matrizengleichung löst Du mit dem Gaußverfahren oder "per Hand" mit Hilfe von Determinanten. Das musst Du aber nicht. Ich war ja auch nur darauf eingegangen, weil Du in Deinem Eröffnungspost nach Matrizen gefragt hattest.
Du hast zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten [mm] I_a [/mm] und [mm] I_b. [/mm] Die kannst du mit jeder beliebigen Methode lösen (Einsetzungsmethode, Gleichsetzungsmethode oder eben mit Determinanten).
Die Matrizenschreibweise wird erst bei größeren Gleichungssystemen wirklich interessant und besonders hilfreich, weil Du die aufgrund der strengen Strukturierung nach festen Regeln lösen kannst, die einfacher anzuwenden sind als die aus der Schul-Mittelstufe bekannten Einsetzungs- oder Gleichsetzungs- oder sonstwelchen Verfahren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Smuji |
vielen dank erstmal.
ich bin noch am lernen, was matrizen angeht.
nun nochmal ein paar frage.
1. wie formst du folgende, geordnete gleichung in die matrizengleichung um ? nach welchen regeln ?
$ [mm] I_a\cdot (R_1+R_2)-I_b\cdot R_2=U_1-U_2 [/mm] $
und
$ [mm] -I_a\cdot R_2+I_b\cdot (R_2+R_3)=U_2-U_3 [/mm] $
In Matrizenschreibweise:
$ [mm] \begin{pmatrix}R_1+R_2&-R_2\\-R_2&R_2+R_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}I_a\\I_b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}U_1-U_2\\U_2-U_3\end{pmatrix} [/mm] $
du hast die wiederstände und spannungen in matrixschreibweise, klingt noch logisch,
nur bei den strömen ist in gleichen Ia und -Ib und in gleichung zwei genau umgedreht,, ,daraus folgt der Stromvektor Ia, Ib ... wieso ? und wieso nicht -Ia,-Ib , denn beide negativen ströme sind ja auch in der gleichung.......
diesen schritt verstehe ich nicht.
und könntest du mir mal zeigen wie du mit der matrizenschreibweise rechnest ?
ich kann ja schlecht Ia = 12volt : (45 ohm - 25 ohm) rechnen...... ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Mi 20.11.2013 | | Autor: | GvC |
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> 1. wie formst du folgende, geordnete gleichung in die
> matrizengleichung um ? nach welchen regeln ?
>
> [mm]I_a\cdot (R_1+R_2)-I_b\cdot R_2=U_1-U_2[/mm]
> und
> [mm]-I_a\cdot R_2+I_b\cdot (R_2+R_3)=U_2-U_3[/mm]
>
> In Matrizenschreibweise:
>
> [mm]\begin{pmatrix}R_1+R_2&-R_2\\-R_2&R_2+R_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}I_a\\I_b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}U_1-U_2\\U_2-U_3\end{pmatrix}[/mm]
> ...
Ich schreibe die Koeffizienten der Maschenströme der Reihe nach so in die Widerstandsmatrix, wie sie im nach Strömen geordneten Gleichungssystem auch stehen: In der ersten Spalte der Widerstandsmatrix stehen die Koeffizienten des Stromes [mm] I_a, [/mm] in der zweiten Spalte die Koeffizienten des Stromes [mm] I_b, [/mm] und zwar einschließlich der Vorzeichen.
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> nur bei den strömen ist in gleichen Ia und -Ib und in
> gleichung zwei genau umgedreht,, ,daraus folgt der
> Stromvektor Ia, Ib ... wieso ? und wieso nicht -Ia,-Ib ,
> denn beide negativen ströme sind ja auch in der
> gleichung.......
Wie gesagt, die Vorzeichen stehen in der Widerstandsmatrix.
> ...
> und könntest du mir mal zeigen wie du mit der
> matrizenschreibweise rechnest ?
>
> ich kann ja schlecht Ia = 12volt : (45 ohm - 25 ohm)
> rechnen...... ?
[mm]I_a=\frac {det_a}{det(R)}[/mm]
und
[mm]I_b=\frac{det_b}{det(R)}[/mm]
Dabei ist nach Determinantenrechenregeln
[mm]det(R)=\begin{vmatrix}R_1+R_2&-R_2\\-R_2&R_2+R_3\end{vmatrix}=(R_1+R_2)\cdot(R_2+R_3)-R_2^2[/mm]
[mm]det_a=\begin{vmatrix}(U_1-U_2)&-R_2\\(U_2-U_3)&R_2+R_3\end{vmatrix}=(U_1-U_2)\cdot (R_2+R_3}+(U_2-U_3)\cdot R_2[/mm]
und
[mm]det_b=\begin{vmatrix}R_1+R_2&(U_1-U_2)\\-R_2&(U_2-U_3)\end{vmatrix}=(R_1+R_2)\cdot (U_2-U_3)+R_2\cdot (U_1-U_2)[/mm]
Wenn Du die drei Determinantenbeispiele aufmerksam analysierst, erkennst Du auch die Regel, nach denen sie berechnet werden. Falls nicht, schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante
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