Strenge Monotonie < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Do 23.12.2010 | | Autor: | mathemak |
| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob folgende Aussage wahr ist: $f : [mm] \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$:
[/mm]
"Ist $f(x+1) > f(x)$ für alle $x [mm] \in \mathbb{R}$, [/mm] so ist $f$ streng monoton steigend." |
Hallo!
Ich hab's mal mit Aussagen probiert:
A = $f(x+1)>f(x) [mm] \; \forall \; [/mm] x [mm] \in \R$ [/mm] oder [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \mathbb{R}: [/mm] f(x+1)>f(x)$
B = $f$ streng monoton steigend
$$ [mm] \text{A} \Rightarrow \text{B} \iff \neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg \text{A}$$
[/mm]
Und dann dachte ich über Kontraposition und Gegenbeispiel nach:
[mm] f(x+1)>f(x) \; \forall \; x \in \mathbb{R} \Rightarrow f [/mm] streng monoton steigend
Wir kehren den Satz um:
[mm] $\neg \left( f(x+1)>f(x) \; \forall \; x \in \mathbb{R} \right) \Leftarrow [/mm] f $ nicht streng monoton steigend
Lösen wir auf zu
[mm] $\exists \,x \in \mathbb{R} [/mm] : f(x+1) [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \Leftarrow [/mm] f$ nicht streng monoton steigend
Leider fält mir da kein Gegenbeispiel ein. Kann jemand mal was zur Umformung sagen?
Andererseits habe ich mir folgendes überlegt:
Sei [mm] $x_0 \in \mathbb{R}$ [/mm] bel.
[mm] $f(x_0+1) [/mm] & > [mm] f(x_0) \iff f(x_0+1)-f(x_0) [/mm] & > 0 [mm] \iff \frac{f(x_0+1)-f(x_0)}{1} [/mm] & > 0 $
Was ja nichts anderes ist, als eine Sekantensteigung (Differenzenquotient) mit vorgegebenem [mm] $\Delta [/mm] x =1$.
Auch da spricht m.E. nichts dagegen, strenge Monotonie zu folgern. Aus der Definition der strengen Montonie: $f$ streng monoton wachsend, dann gilt für alle [mm] $x_1 [/mm] < [mm] x_2 \Rightarrow f(x_1)
Ich bin nicht überzeugt, dass der Satz stimmt. Beispiele habe ich mir genug überlegt 
Gruß und Dank!
mathemak
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Do 23.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Überprüfen Sie, ob folgende Aussage wahr ist: [mm]f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}[/mm]:
>
> "Ist [mm]f(x+1) > f(x)[/mm] für alle [mm]x \in \mathbb{R}[/mm], so ist [mm]f[/mm]
> streng monoton steigend."
Hallo,
überzeuge dich davon, dass für
f(x) = sin(2 [mm] \pi*x) [/mm] + x
tatsächlich gilt f(x+1) > f(x).
Dann mache dir Gedanken über die Monotonie...
Gruß Abakus
> Hallo!
>
> Ich hab's mal mit Aussagen probiert:
>
> A = [mm]f(x+1)>f(x) \; \forall \; x \in \R[/mm] oder [mm]\forall x \in \mathbb{R}: f(x+1)>f(x)[/mm]
>
> B = [mm]f[/mm] streng monoton steigend
>
> [mm]\text{A} \Rightarrow \text{B} \iff \neg B \Rightarrow \neg \text{A}[/mm]
>
> Und dann dachte ich über Kontraposition und Gegenbeispiel
> nach:
>
>
> [mm]f(x+1)>f(x) \; \forall \; x \in \mathbb{R} \Rightarrow f[/mm]
> streng monoton steigend
>
>
> Wir kehren den Satz um:
> [mm]\neg \left( f(x+1)>f(x) \; \forall \; x \in \mathbb{R} \right) \Leftarrow f[/mm]
> nicht streng monoton steigend
>
> Lösen wir auf zu
>
> [mm]\exists \,x \in \mathbb{R} : f(x+1) \le f(x) \Leftarrow f[/mm]
> nicht streng monoton steigend
>
>
> Leider fält mir da kein Gegenbeispiel ein. Kann jemand
> mal was zur Umformung sagen?
>
> Andererseits habe ich mir folgendes überlegt:
>
> Sei [mm]x_0 \in \mathbb{R}[/mm] bel.
>
> [mm]f(x_0+1) & > f(x_0) \iff f(x_0+1)-f(x_0) & > 0 \iff \frac{f(x_0+1)-f(x_0)}{1} & > 0[/mm]
>
> Was ja nichts anderes ist, als eine Sekantensteigung
> (Differenzenquotient) mit vorgegebenem [mm]\Delta x =1[/mm].
>
> Auch da spricht m.E. nichts dagegen, strenge Monotonie zu
> folgern. Aus der Definition der strengen Montonie: $f$
> streng monoton wachsend, dann gilt für alle [mm]$x_1[/mm] < [mm]x_2 \Rightarrow f(x_1)
> nehme ich dann [mm]x_2[/mm] = [mm]x_1+1$[/mm]
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> Ich bin nicht überzeugt, dass der Satz stimmt. Beispiele
> habe ich mir genug überlegt
>
> Gruß und Dank!
>
> mathemak
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Do 23.12.2010 | | Autor: | mathemak |
Danke!
Das Brett vor'm Kopf ist sooo dick!
Irgendwie war mir schon klar, dass ich den Satz nicht glaube. Denoch, drauf gekommen bin ich nicht.
Vielen Dank!
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