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Stochastische Unabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 So 22.11.2020
Autor: TS85

Aufgabe
a) Finden sie einen diskreten W-Raum [mm] (\Omega,P) [/mm] und Ereignisse A,B,C [mm] \subseteq \Omega [/mm] derart, dass
i) A und B stochastisch unabhängig (st. u.) sind,
ii) B und C st. u. sind,
iii) A und C st. u. sind,
iv) A, B und C gemeinsam aber nicht st. u. sind.

Es seit jetzt [mm] (\Omega,P) [/mm] ein diskreter W-Raum und A,B,C,D [mm] \subseteq \Omega [/mm] st. u..
z.z.:
b) [mm] A^C, [/mm] B, C, D sind stochastisch unabhängig
c)A [mm] \cap [/mm] B und C [mm] \cap [/mm] D sind st. u.
d)A [mm] \cup [/mm] B und C [mm] \cup [/mm] D sind st. un.

Hallo,

ich möchte wissen, ob meine Lösung Fehler aufweist. Aktuell denke ich das nicht, aber oftmals fehlt ja wieder was..

a) [mm] \Omega=\{1,2,3,...,8,9\} [/mm] mit [mm] p(\omega)=\bruch{1}{9} \forall \omega \in \Omega [/mm]
[mm] A=\{1,2,3\},B=\{3,4,5\},C=\{3,5,6\} [/mm]
Dann gilt P(A)=P(B)=P(C)=1/3 und [mm] P(A\cap B)=P(\{3\})=1/9 [/mm] = P(A)P(B),
P(A [mm] \cap C)=P(\{3\})=1/9=P(A)P(C) [/mm] und [mm] P(B\cap C)=P(\{3\})=1/9=P(B)P(C) [/mm]
Aber P(B)P(A)P(C)=1/27 [mm] \not= P(A\cap [/mm] B [mm] \cap C)=P(\{3\})=1/9. [/mm]

[mm] b)P(A^C \underbrace{\cap B \cap C \cap D}_{E'})=P(A^C\cap E')=P((\Omega \setminus A)\cap E')=P((\Omega \cap E')\setminus(A \cap [/mm] E'))
[mm] =P(E')-P(E'\cap A)=P(E')-\underbrace{P(E')P(A)}_{gilt, weil n. Vor. A,B,C,D st. un.} [/mm] = [mm] P(E')(1-P(A))=P(E')P(A^C)=P(A^C)P(B)P(C)P(D). [/mm]

Behauptung folgt aus st. un. von A,B,C,D. Andere Beweisrichtung analog (notwendig?)

c)
[mm] P((A\cap B)\cap(C\cap [/mm] D))=P(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C [mm] \cap [/mm] D)=P(A)P(B)P(C)P(D).
Da nach Aufgabenstellung A,B,C,D [mm] \subseteq \Omega [/mm] st. un, also auch A und B, C und D folgt: P(A [mm] \cap [/mm] B)=P(A)P(B) (C,D ebenso).
Vermutlich wird hier etwas unterschlagen? (Sehe ich im Moment aber nicht)

d) [mm] P((A\cup B)\cap(C \cup [/mm] D))=P((A [mm] \cap [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D)) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D)))
=P((A [mm] \cap [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D)))+P(B [mm] \cap [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D)) - P((A [mm] \cap [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D)) [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cap [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D)))
Erneutes Anwenden der Siebformel auf 1., 2. und 3. Term führt dann schließlich
auf einen großen Term (auf den ich hier jetzt mal verzichte, da Schreibaufwand zu hoch), der sich zusammenfassen lässt mit
[mm] (P(A)+P(B)-P(A\cap [/mm] B))(P(C)+P(D)-P(C [mm] \cap D))=P(A\cup B)P(C\cup [/mm] D)
[mm] \Box [/mm]

Wenn jemand mal nochmal kurzfristig drüber schauen könnte, wäre das nett..

        
Bezug
Stochastische Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 So 22.11.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

vorab: Passt alles.

b) kannst du schneller machen.
Es gilt:
$P(E') = P(A [mm] \cap [/mm] E') + [mm] P(A^c \cap [/mm] E')$ und damit [mm] $P(A^c \cap [/mm] E') = P(E') - [mm] P(A\cap [/mm] E')$

schon bist du nach einem Schritt bei deinem vorletzten Schritt.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Stochastische Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:25 Mo 23.11.2020
Autor: TS85

Ok, danke. Aufgrund der Übungsbewertung mit Punktabzügen für teilweise triviale Sachen bin ich lieber dazu übergegangen, sehr ausführlich alles zu bearbeiten.

Bezug
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